17、判断 设随机变量X，Y不独立，则一定有X，Y的相关系数ρXY≠0。()A. √B. ×

本题考查随机变量的独立性与相关性的关系以及相关系数的概念。解题的关键在于明确随机变量不独立并不一定意味着它们相关，需要通过相关系数的定义和性质来判断。

1. 明确相关系数的定义

随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$ 的计算公式为：
$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。

2. 分析不独立与相关的关系

随机变量 $X$ 和 $Y$ 不独立，只能说明它们之间存在某种关联，但这种关联不一定是线性关联。而相关系数 $\rho_{XY}$ 衡量的是 $X$ 和 $Y$ 之间的线性相关程度。

3. 举例说明不独立但相关系数为 0 的情况

设随机变量 $X$ 服从区间 $[-1,1]$ 上的均匀分布，令 $Y = X^2$。

• 判断 $X$ 和 $Y$ 的独立性：
  由于 $Y$ 的取值完全由 $X$ 的取值决定，所以 $X$ 和 $Y$ 不独立。
• 计算 $Cov(X,Y)$：
  根据协方差的定义 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
  • 先求 $E(X)$：
    对于均匀分布 $U(a,b)$，其期望 $E(X)=\frac{a + b}{2}$，所以 $E(X)=\frac{-1 + 1}{2}=0$。
  • 再求 $E(XY)$：
    因为 $Y = X^2$，所以 $XY = X^3$。
    根据期望的计算公式 $E(X^3)=\int_{-1}^{1}x^3\cdot\frac{1}{2}dx$。
    由于被积函数 $f(x)=x^3$ 是奇函数，在关于原点对称的区间 $[-1,1]$ 上积分为 0，即 $E(X^3)=0$。
  • 最后求 $Cov(X,Y)$：
    $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 - 0\times E(Y)=0$。
• 计算相关系数 $\rho_{XY}$：
  因为 $Cov(X,Y)=0$，所以 $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = 0$。

这就说明存在随机变量 $X$ 和 $Y$ 不独立，但它们的相关系数 $\rho_{XY}=0$ 的情况，所以“设随机变量 $X$，$Y$ 不独立，则一定有 $X$，$Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}\neq0$”这一说法是错误的。