题目
已知随机变量X与Y都服从二项分布B(20，0.1)，并且X与Y的相关系数rho_(XY)=0.5，则Var(X+Y)=____，Cov(X,2Y-X)=____.
已知随机变量X与Y都服从二项分布B(20，0.1)，并且X与Y的相关系数$\rho_{XY}=0.5$，则Var(X+Y)=____，Cov(X,2Y-X)=____.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用二项分布的性质以及随机变量的方差和协方差的性质。让我们一步步来解决。
### 第一步：计算 $X$ 和 $Y$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从二项分布 $B(20, 0.1)$，二项随机变量的方差由 $np(1-p)$ 给出。这里，$n = 20$ 和 $p = 0.1$，所以：
\[
\text{Var}(X) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8
\]
\[
\text{Var}(Y) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8
\]
### 第二步：计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差
$X$ 和 $Y$ 的协方差由相关系数 $\rho_{XY}$ 和它们的标准差的乘积给出。相关系数 $\rho_{XY} = 0.5$，标准差 $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{1.8}$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{1.8}$，所以：
\[
\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot \sqrt{1.8} \cdot \sqrt{1.8} = 0.5 \cdot 1.8 = 0.9
\]
### 第三步：计算 $\text{Var}(X + Y)$
两个随机变量的和的方差由：
\[
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y)
\]
代入我们已有的值：
\[
\text{Var}(X + Y) = 1.8 + 1.8 + 2 \cdot 0.9 = 1.8 + 1.8 + 1.8 = 5.4
\]
### 第四步：计算 $\text{Cov}(X, 2Y - X)$
两个随机变量的协方差的性质是 $\text{Cov}(X, aY + bZ) = a \text{Cov}(X, Y) + b \text{Cov}(X, Z)$。这里，$a = 2$，$Y = Y$，$b = -1$，和 $Z = X$，所以：
\[
\text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Cov}(X, X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Var}(X)
\]
代入我们已有的值：
\[
\text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \cdot 0.9 - 1.8 = 1.8 - 1.8 = 0
\]
### 最终答案
\[
\text{Var}(X + Y) = \boxed{5.4}
\]
\[
\text{Cov}(X, 2Y - X) = \boxed{0}
\]
解析
步骤 1：计算 $X$ 和 $Y$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从二项分布 $B(20, 0.1)$，二项随机变量的方差由 $np(1-p)$ 给出。这里，$n = 20$ 和 $p = 0.1$，所以：
\[ \text{Var}(X) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8 \]
\[ \text{Var}(Y) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8 \]
步骤 2：计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差
$X$ 和 $Y$ 的协方差由相关系数 $\rho_{XY}$ 和它们的标准差的乘积给出。相关系数 $\rho_{XY} = 0.5$，标准差 $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{1.8}$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{1.8}$，所以：
\[ \text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot \sqrt{1.8} \cdot \sqrt{1.8} = 0.5 \cdot 1.8 = 0.9 \]
步骤 3：计算 $\text{Var}(X + Y)$
两个随机变量的和的方差由：
\[ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) \]
代入我们已有的值：
\[ \text{Var}(X + Y) = 1.8 + 1.8 + 2 \cdot 0.9 = 1.8 + 1.8 + 1.8 = 5.4 \]
步骤 4：计算 $\text{Cov}(X, 2Y - X)$
两个随机变量的协方差的性质是 $\text{Cov}(X, aY + bZ) = a \text{Cov}(X, Y) + b \text{Cov}(X, Z)$。这里，$a = 2$，$Y = Y$，$b = -1$，和 $Z = X$，所以：
\[ \text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Cov}(X, X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Var}(X) \]
代入我们已有的值：
\[ \text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \cdot 0.9 - 1.8 = 1.8 - 1.8 = 0 \]
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从二项分布 $B(20, 0.1)$，二项随机变量的方差由 $np(1-p)$ 给出。这里，$n = 20$ 和 $p = 0.1$，所以：
\[ \text{Var}(X) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8 \]
\[ \text{Var}(Y) = 20 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) = 20 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 1.8 \]
步骤 2：计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差
$X$ 和 $Y$ 的协方差由相关系数 $\rho_{XY}$ 和它们的标准差的乘积给出。相关系数 $\rho_{XY} = 0.5$，标准差 $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{1.8}$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{1.8}$，所以：
\[ \text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot \sqrt{1.8} \cdot \sqrt{1.8} = 0.5 \cdot 1.8 = 0.9 \]
步骤 3：计算 $\text{Var}(X + Y)$
两个随机变量的和的方差由：
\[ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) \]
代入我们已有的值：
\[ \text{Var}(X + Y) = 1.8 + 1.8 + 2 \cdot 0.9 = 1.8 + 1.8 + 1.8 = 5.4 \]
步骤 4：计算 $\text{Cov}(X, 2Y - X)$
两个随机变量的协方差的性质是 $\text{Cov}(X, aY + bZ) = a \text{Cov}(X, Y) + b \text{Cov}(X, Z)$。这里，$a = 2$，$Y = Y$，$b = -1$，和 $Z = X$，所以：
\[ \text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Cov}(X, X) = 2 \text{Cov}(X, Y) - \text{Var}(X) \]
代入我们已有的值：
\[ \text{Cov}(X, 2Y - X) = 2 \cdot 0.9 - 1.8 = 1.8 - 1.8 = 0 \]