题目
6.设总体X服从正态分布N(μ,1),(μ未知),X_(1),X_(2),X_(3)是总体X的样本,证明:统计量hat(mu)_(1)=(1)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2)+(1)/(3)X_(3),hat(mu)_(2)=(2)/(3)X_(2)+(1)/(3)X_(3)都是参数μ的无偏估计量,并验证hat(mu)_(1),hat(mu)_(2)哪一个更有效?
6.设总体X服从正态分布N(μ,1),(μ未知),$X_{1},X_{2},X_{3}$是总体X的样本,证明:统计量$\hat{\mu}_{1}=\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3}$,$\hat{\mu}_{2}=\frac{2}{3}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3}$都是参数μ的无偏估计量,并验证$\hat{\mu}_{1}$,$\hat{\mu}_{2}$哪一个更有效?
题目解答
答案
**证明无偏性：**
1. 对于 $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，
$E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$，
故 $\hat{\mu}_1$ 是无偏估计。
2. 对于 $\hat{\mu}_2 = \frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，
$E(\hat{\mu}_2) = \frac{2}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$，
故 $\hat{\mu}_2$ 是无偏估计。
**比较方差：**
1. $\text{Var}(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{9}\text{Var}(X_1) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$。
2. $\text{Var}(\hat{\mu}_2) = \frac{4}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$。
由于 $\frac{1}{3} = \frac{3}{9} < \frac{5}{9}$，$\hat{\mu}_1$ 的方差更小，因此更有效。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{统计量 } \hat{\mu}_1 \text{ 和 } \hat{\mu}_2 \text{ 均为 } \mu \text{ 的无偏估计量，其中 } \hat{\mu}_1 \text{ 更有效。}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：证明 $\hat{\mu}_1$ 是无偏估计量
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$，因此 $E(X_i) = \mu$ 对于 $i = 1, 2, 3$。因此，对于 $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，我们有：
\[ E(\hat{\mu}_1) = E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu \]
因此，$\hat{\mu}_1$ 是无偏估计量。
步骤 2：证明 $\hat{\mu}_2$ 是无偏估计量
对于 $\hat{\mu}_2 = \frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，我们有：
\[ E(\hat{\mu}_2) = E\left(\frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{2}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu \]
因此，$\hat{\mu}_2$ 也是无偏估计量。
步骤 3：比较 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 的方差
对于 $\hat{\mu}_1$，其方差为：
\[ \text{Var}(\hat{\mu}_1) = \text{Var}\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{1}{9}\text{Var}(X_1) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \]
对于 $\hat{\mu}_2$，其方差为：
\[ \text{Var}(\hat{\mu}_2) = \text{Var}\left(\frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{4}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \]
由于 $\frac{1}{3} < \frac{5}{9}$，因此 $\hat{\mu}_1$ 的方差更小，更有效。
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$，因此 $E(X_i) = \mu$ 对于 $i = 1, 2, 3$。因此，对于 $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，我们有：
\[ E(\hat{\mu}_1) = E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu \]
因此，$\hat{\mu}_1$ 是无偏估计量。
步骤 2：证明 $\hat{\mu}_2$ 是无偏估计量
对于 $\hat{\mu}_2 = \frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，我们有：
\[ E(\hat{\mu}_2) = E\left(\frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{2}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu \]
因此，$\hat{\mu}_2$ 也是无偏估计量。
步骤 3：比较 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 的方差
对于 $\hat{\mu}_1$，其方差为：
\[ \text{Var}(\hat{\mu}_1) = \text{Var}\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{1}{9}\text{Var}(X_1) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \]
对于 $\hat{\mu}_2$，其方差为：
\[ \text{Var}(\hat{\mu}_2) = \text{Var}\left(\frac{2}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{4}{9}\text{Var}(X_2) + \frac{1}{9}\text{Var}(X_3) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \]
由于 $\frac{1}{3} < \frac{5}{9}$，因此 $\hat{\mu}_1$ 的方差更小，更有效。