假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的简单随机样本。已知Y=lnX服从正态分布N(μ，1)（1）求X的数学期望E (X)(记E(X)为b);求X的数学期望E (X)(记E(X)为b);求X的数学期望E (X)(记E(X)为b);

考查要点：
本题主要考查对数正态分布的期望计算以及参数的置信区间估计。

1. 第一问的关键在于利用正态变量的指数变换性质，计算对数正态分布的期望。
2. 第二问需要根据样本均值构造正态总体均值的置信区间，注意样本量和方差的关系。
3. 第三问需通过参数变换，将μ的置信区间转换为b的置信区间，利用指数函数的单调性。

解题核心思路：

• 正态分布与对数正态分布的关系：若Y ~ N(μ, σ²)，则X = e^Y服从对数正态分布，其期望为E(X) = e^{μ + σ²/2}。
• 置信区间构造：利用样本均值的正态性，结合标准正态分布的分位数，建立不等式求解区间。
• 参数变换：通过指数函数的单调性，将μ的置信区间转换为b的置信区间。

第（1）题：求E(X)

步骤1：确定Y的分布

已知Y = lnX ~ N(μ, 1)，即Y服从均值为μ、方差为1的正态分布。

步骤2：计算E(X)

X = e^Y，根据正态变量的指数期望公式：
$E(X) = E(e^Y) = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} = e^{\mu + \frac{1}{2}}$
因此，E(X) = e^{μ + 1/2}，记为b = e^{μ + 1/2}。

第（3）题：求b的置信区间

步骤1：构造μ的置信区间

由样本均值̄Y ~ N(μ, 1/4)（方差为1/4，因样本量n=4），取置信度1-α=0.95，对应标准正态分位数z_{α/2}=1.96。
置信区间为：
$\overline{Y} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} \quad \Rightarrow \quad \mu \in \left( \overline{Y} - 0.98, \overline{Y} + 0.98 \right)$
计算样本均值：
$\overline{Y} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 \ln X_i = \frac{1}{4} (\ln 0.50 + \ln 1.25 + \ln 0.80 + \ln 2.00) = 0$
因此，μ的置信区间为(-0.98, 0.98)。

步骤2：转换为b的置信区间

b = e^{μ + 1/2}，将μ的区间代入：
$\mu + \frac{1}{2} \in \left( -0.98 + 0.5, 0.98 + 0.5 \right) = (-0.48, 1.48)$
取指数得：
$b \in \left( e^{-0.48}, e^{1.48} \right)$