题目
10.设总体X服从正态分布N(μ₀,σ²)，其中σ²未知，X_(1),X_(2),…,X_(n)是取自总体X的一个样本，样本观测值为x_(1),x_(2),…,x_(n)，对假设：H_(0)：μ=μ_(0)；H_(1)：μ≠μ_(0)，取显著性水平α，则检验的拒绝域是____. (A.)(|t|>u_{alpha/2)} (B.)(|t|>t_{alpha/2)(n-1)} (C.)(|t|le t_{alpha/2)(n-1)} (D.)(|t|le u_{alpha/2)}
10.设总体X服从正态分布N(μ₀,σ²)，其中σ²未知，$X_{1}$,$X_{2}$,…,$X_{n}$是取自总体X的一个样本，样本观测值为$x_{1}$,$x_{2}$,…,$x_{n}$，对假设：$H_{0}：μ=μ_{0}$；$H_{1}：μ≠μ_{0}$，取显著性水平α，则检验的拒绝域是____. (
A.)${|t|>u_{\alpha/2}}$ (
B.)${|t|>t_{\alpha/2}(n-1)}$ (
C.)${|t|\le t_{\alpha/2}(n-1)}$ (
D.)${|t|\le u_{\alpha/2}}$
A.)${|t|>u_{\alpha/2}}$ (
B.)${|t|>t_{\alpha/2}(n-1)}$ (
C.)${|t|\le t_{\alpha/2}(n-1)}$ (
D.)${|t|\le u_{\alpha/2}}$
题目解答
答案
为了确定假设 $ H_0: \mu = \mu_0 $ 对 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $ 的检验的拒绝域，其中总体 $ X $ 服从正态分布 $ N(\mu_0, \sigma^2) $ 且 $ \sigma^2 $ 未知，我们需要使用t检验。t检验统计量由下式给出：
\[ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \]
其中：
- $ \bar{X} $ 是样本均值，
- $ S $ 是样本标准差，
- $ n $ 是样本大小。
在 $ H_0 $ 下，t统计量服从自由度为 $ n-1 $ 的t分布。对于双侧检验（因为 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $），我们拒绝 $ H_0 $，如果t统计量的绝对值大于自由度为 $ n-1 $ 的t分布的 $ \alpha/2 $ 上侧分位数。这个分位数表示为 $ t_{\alpha/2}(n-1) $。
因此，检验的拒绝域是：
\[ |t| > t_{\alpha/2}(n-1) \]
所以，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查正态总体均值的假设检验，当总体方差 $\sigma^{2}$ 未知时，对总体均值 $\mu$ 进行假设检验，需要使用 $t$ 检验。
解题思路如下：
- 首先明确本题是在总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu_{0},\sigma^{2})$ 且 $\sigma^{2}$ 未知的条件下，对假设 $H_{0}:\mu = \mu_{0}$；$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$ 进行检验。
- 由于 $\sigma^{2}$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 来代替总体标准差 $\sigma$，构造 $t$ 检验统计量。
- 样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，样本标准差 $S=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}}$。
- 构造的 $t$ 检验统计量为 $t=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$。
- 然后确定在原假设 $H_{0}$ 成立的条件下，$t$ 统计量的分布。
- 当 $H_{0}$ 成立时，$t$ 统计量服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布，即 $t\sim t(n - 1)$。
- 接着根据显著性水平 $\alpha$ 和备择假设 $H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$ 确定拒绝域。
- 因为是双侧检验，我们要找到两个临界值，使得在这两个临界值之外的区域为拒绝域。
- 设 $t_{\alpha/2}(n - 1)$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，即 $P\{t>t_{\alpha/2}(n - 1)\}=\alpha/2$。
- 由于 $t$ 分布是关于 $y$ 轴对称的，所以 $P\{t < -t_{\alpha/2}(n - 1)\}=\alpha/2$。
- 那么拒绝域就是 $t$ 统计量的绝对值大于 $t_{\alpha/2}(n - 1)$ 的区域，即 $|t|>t_{\alpha/2}(n - 1)$。