题目
设 X_1, X_2, ldots, X_(16) 是总体 N(mu, 4) 的一个简单随机样本，算得样本均值为 80。则 mu 的置信度为 0.95 的置信区间是 ____________。已知：z_(0.1) = 1.28，z_(0.05) = 1.645，z_(0.025) = 1.96。
设 $X_1, X_2, \ldots, X_{16}$ 是总体 $N(\mu, 4)$ 的一个简单随机样本，算得样本均值为 80。则 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 ____________。 已知：$z_{0.1} = 1.28$，$z_{0.05} = 1.645$，$z_{0.025} = 1.96$。
题目解答
答案
我们来逐步解决这个问题：
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### **题目回顾**
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_{16} $ 是来自正态总体 $ N(\mu, 4) $ 的一个简单随机样本，样本均值为 80，样本容量 $ n = 16 $。
要求：求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间。
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### **已知条件**
- 总体分布：$ N(\mu, 4) $，即总体方差 $ \sigma^2 = 4 $，标准差 $ \sigma = 2 $
- 样本容量：$ n = 16 $
- 样本均值：$ \bar{X} = 80 $
- 置信水平：0.95，对应显著性水平 $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $
- 查表得：$ z_{0.025} = 1.96 $
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### **解题思路**
由于总体方差已知，且样本来自正态总体，我们可以使用 **Z 分布** 构造置信区间。
置信区间的公式为：
$$
\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
代入已知数据：
- $ \bar{X} = 80 $
- $ \sigma = 2 $
- $ n = 16 $
- $ z_{0.025} = 1.96 $
计算标准误：
$$
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5
$$
计算置信区间的边界：
$$
80 \pm 1.96 \times 0.5 = 80 \pm 0.98
$$
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### **最终答案**
$$
\boxed{(79.02,\ 80.98)}
$$
这就是 $\mu$ 的 95% 置信区间。
解析
考查要点：本题主要考查总体均值的置信区间估计，重点在于总体方差已知时使用Z分布构造置信区间的能力。
解题核心思路：
- 确定分布类型：由于总体方差已知且总体服从正态分布，直接使用Z分布。
- 选择临界值：根据置信度0.95，确定双侧检验的临界值$z_{\alpha/2}$（对应$\alpha=0.05$，即$z_{0.025}=1.96$）。
- 代入公式计算：利用置信区间公式$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，代入已知数据求解。
破题关键点：
- 正确选择临界值：注意区分单侧与双侧检验对应的z值（本题需用双侧的$z_{0.025}$）。
- 标准误的计算：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$需准确代入$\sigma=2$和$n=16$。
步骤1：确定置信区间公式
总体方差$\sigma^2=4$已知，且总体服从正态分布，因此使用Z分布构造置信区间：
$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中，$\alpha=1-0.95=0.05$，对应$z_{0.025}=1.96$。
步骤2：计算标准误
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$
步骤3：计算置信区间边界
$80 \pm 1.96 \times 0.5 = 80 \pm 0.98$
因此，置信区间为：
$(80 - 0.98,\ 80 + 0.98) = (79.02,\ 80.98)$