题目

6.（单选题）设A,B为n阶矩阵，且满足AB=0，则必有（）A A=0或B=0B A+B=0C |A|=0或|B|=0D |A|+|B|=0

6.（单选题）设A,B为n阶矩阵，且满足AB=0，则必有（） A A=0或B=0 B A+B=0 C |A|=0或|B|=0 D |A|+|B|=0

题目解答

答案

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $AB = 0$。
选项分析：
A. $A = 0$ 或 $B = 0$：
矩阵乘法中存在零因子，即非零矩阵相乘可得零矩阵，故不成立。

B. $A + B = 0$：
仅当 $A = -B$ 时成立，但 $AB = 0$ 无法推出此结论，故不成立。

C. $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$：
由行列式性质 $|AB| = |A||B|$，且 $|AB| = |0| = 0$，得 $|A||B| = 0$，即 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$，成立。

D. $|A| + |B| = 0$：
无法从 $AB = 0$ 推出此结论，如 $A$ 为零矩阵时 $|A| = 0$，但 $|B|$ 可任意，故不成立。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查矩阵乘法、行列式的性质以及零因子的概念。解题的关键在于利用行列式的性质$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，结合已知条件$AB = 0$来分析各个选项。

  1. 分析选项A：
    在矩阵乘法中，存在零因子现象。也就是说，存在非零矩阵$A$和$B$，使得它们的乘积$AB = 0$。例如，设$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$A\neq 0$且$B\neq 0$。所以选项A不成立。
  2. 分析选项B：
    仅当$A = -B$时，$A + B = 0$成立。然而，由$AB = 0$并不能推出$A = -B$。例如，设$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$A + B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\neq 0$。所以选项B不成立。
  3. 分析选项C：
    根据行列式的性质，对于$n$阶矩阵$A$和$B$，有$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$。已知$AB = 0$，那么$\vert AB\vert=\vert 0\vert = 0$，即$\vert A\vert\vert B\vert = 0$。根据乘法的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，所以$\vert A\vert = 0$或$\vert B\vert = 0$。因此，选项C成立。
  4. 分析选项D：
    由$AB = 0$无法推出$\vert A\vert + \vert B\vert = 0$。例如，当$A$为零矩阵时，$\vert A\vert = 0$，但$\vert B\vert$可以是任意值，不一定满足$\vert A\vert + \vert B\vert = 0$。所以选项D不成立。