题目

16.(填空题,5分)为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值(单位:微克)如下:81.6 96.6 68.6 77.3 85.8 66.6 78.6 74.086.6 74.9 70.9 76.1 68.7 71.7 61.7 82.580.0 83.0 88.5 92.2 58.3 73.2 86.9 87.071.6 85.5 94.9 72.5 72.4 73.2 75.6 83.0根据测量数据，当显著性水平a=0.01时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值?利用excel软件计算的P值为:(结果保留4位小数)

16.(填空题,5分) 为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值(单位:微克)如下: 81.6 96.6 68.6 77.3 85.8 66.6 78.6 74.0 86.6 74.9 70.9 76.1 68.7 71.7 61.7 82.5 80.0 83.0 88.5 92.2 58.3 73.2 86.9 87.0 71.6 85.5 94.9 72.5 72.4 73.2 75.6 83.0 根据测量数据，当显著性水平a=0.01时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值? 利用excel软件计算的P值为:(结果保留4位小数)

题目解答

答案

为了确定该城市空气中悬浮颗粒的平均值是否显著低于过去的平均值，我们将进行单样本t检验。以下是解题步骤: 1. **陈述假设:** - 零假设 $ H_0 $: 该城市空气中悬浮颗粒的平均值等于过去的平均值，即 $ \mu = 82 $。 - 备择假设 $ H_1 $: 该城市空气中悬浮颗粒的平均值低于过去的平均值，即 $ \mu < 82 $。 2. **计算样本均值:** 首先，我们需要找到样本数据的均值。样本数据为: \[ 81.6, 96.6, 68.6, 77.3, 85.8, 66.6, 78.6, 74.0, 86.6, 74.9, 70.9, 76.1, 68.7, 71.7, 61.7, 82.5, 80.0, 83.0, 88.5, 92.2, 58.3, 73.2, 86.9, 87.0, 71.6, 85.5, 94.9, 72.5, 72.4, 73.2, 75.6, 83.0 \] 使用Excel计算样本均值: \[ \text{样本均值} = \text{AVERAGE}(81.6, 96.6, 68.6, 77.3, 85.8, 66.6, 78.6, 74.0, 86.6, 74.9, 70.9, 76.1, 68.7, 71.7, 61.7, 82.5, 80.0, 83.0, 88.5, 92.2, 58.3, 73.2, 86.9, 87.0, 71.6, 85.5, 94.9, 72.5, 72.4, 73.2, 75.6, 83.0) = 78.16875 \] 3. **计算样本标准差:** 接下来，我们需要找到样本数据的标准差。使用Excel计算样本标准差: \[ \text{样本标准差} = \text{STDEV.S}(81.6, 96.6, 68.6, 77.3, 85.8, 66.6, 78.6, 74.0, 86.6, 74.9, 70.9, 76.1, 68.7, 71.7, 61.7, 82.5, 80.0, 83.0, 88.5, 92.2, 58.3, 73.2, 86.9, 87.0, 71.6, 85.5, 94.9, 72.5, 72.4, 73.2, 75.6, 83.0) = 11.10512 \] 4. **计算t统计量:** t统计量的公式为: \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] 其中 $ \bar{x} $ 是样本均值， $ \mu_0 $ 是假设的总体均值， $ s $ 是样本标准差， $ n $ 是样本大小。这里， $ \bar{x} = 78.16875 $， $ \mu_0 = 82 $， $ s = 11.10512 $， $ n = 32 $。代入这些值，我们得到: \[ t = \frac{78.16875 - 82}{11.10512 / \sqrt{32}} = \frac{-3.83125}{1.96386} = -1.9509 \] 5. **确定自由度和P值:** 自由度 $ df $ 为 $ n - 1 = 31 $。使用Excel找到单尾t检验的P值: \[ \text{P值} = \text{T.DIST}(-1.9509, 31, \text{TRUE}) = 0.0307 \] 6. **与显著性水平比较:** 显著性水平 $ \alpha = 0.01 $。由于P值 $ 0.0307 $ 大于 $ 0.01 $，我们不拒绝零假设。 因此，根据测量数据，当显著性水平 $ \alpha = 0.01 $ 时，不能认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。P值为 $\boxed{0.0307}$。

解析

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，判断样本均值是否显著低于已知总体均值。
解题核心：

  1. 建立假设：零假设为总体均值等于82，备择假设为总体均值低于82。
  2. 计算样本统计量：均值、标准差、t值。
  3. 通过P值与显著性水平比较，判断是否拒绝零假设。
    关键点：正确理解单边检验的P值计算方式，以及自由度的确定。

1. 建立假设

  • 零假设 $H_0$: $\mu = 82$（平均值未显著降低）
  • 备择假设 $H_1$: $\mu < 82$（平均值显著降低）

2. 计算样本均值

使用Excel函数 AVERAGE 计算样本均值：
$\bar{x} = 78.16875$

3. 计算样本标准差

使用Excel函数 STDEV.S 计算样本标准差：
$s = 11.10512$

4. 计算t统计量

公式：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
代入数据（$n=32$）：
$t = \frac{78.16875 - 82}{11.10512 / \sqrt{32}} \approx -1.9509$

5. 确定自由度与P值

  • 自由度 $df = n - 1 = 31$
  • 使用Excel函数 T.DIST(t, df, TRUE) 计算单边P值：
    $P\text{-值} = 0.0307$

6. 结论

显著性水平 $\alpha = 0.01$，因 $0.0307 > 0.01$，不拒绝零假设，即无法认为平均值显著低于82。