题目
3【判断题】单正态总体N(mu,sigma^2)中，sigma^2未知，则mu的置信度为1-α的双侧置信区间为(overline(x)pm t_((alpha)/(2))(n-1)(S)/(sqrt(n)))。()A 对B 错
3【判断题】单正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$中，$\sigma^{2}$未知，则$\mu$的置信度为1-α的双侧置信区间为$\left(\overline{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)。()$
A 对
B 错
题目解答
答案
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用 t 统计量构造均值 $\mu$ 的置信区间。t 统计量为：
\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \]
对于置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间，有：
\[ P\left(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) < T < t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right) = 1 - \alpha \]
解不等式得：
\[ \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \]
即置信区间为：
\[ \left( \overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \]
因此，题目陈述正确。
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定统计量
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，构造 t 统计量。t 统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，$t(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 2：构造置信区间
对于置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间，有： \[ P\left(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) < T < t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 其中，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数。
步骤 3：求解置信区间
解不等式得： \[ \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \] 即置信区间为： \[ \left( \overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \] 因此，题目陈述正确。
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，构造 t 统计量。t 统计量为： \[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 其中，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，$t(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 2：构造置信区间
对于置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间，有： \[ P\left(-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) < T < t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 其中，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数。
步骤 3：求解置信区间
解不等式得： \[ \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \] 即置信区间为： \[ \left( \overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) \] 因此，题目陈述正确。