题目
X1,X2为来自总体X的样本,证明当X1,X2时,X1,X2为总体均值X1,X2的无偏估计。
为来自总体X的样本,证明当
时,
为总体均值
的无偏估计。题目解答
答案
证明:设总体均值= μ,由于为来自总体X的样本,
= μ,由于为来自总体X的样本,因此 
而 为总体均值的无偏估计,故应该有
为总体均值的无偏估计,故应该有
从而
解析
步骤 1：定义总体均值
设总体均值为 $\mu$，即 $E(X) = \mu$。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本，因此 $E(X_1) = E(X_2) = \mu$。
步骤 2：计算 $aX_1 + bX_2$ 的期望
根据期望的线性性质，我们有：
$$E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2)$$
将 $E(X_1) = E(X_2) = \mu$ 代入上式，得到：
$$E(aX_1 + bX_2) = a\mu + b\mu = (a + b)\mu$$
步骤 3：证明无偏性
要使 $aX_1 + bX_2$ 为总体均值 $\mu$ 的无偏估计，需要满足 $E(aX_1 + bX_2) = \mu$。根据步骤 2 的结果，我们有：
$$(a + b)\mu = \mu$$
因此，当 $a + b = 1$ 时，$aX_1 + bX_2$ 为总体均值 $\mu$ 的无偏估计。
设总体均值为 $\mu$，即 $E(X) = \mu$。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本，因此 $E(X_1) = E(X_2) = \mu$。
步骤 2：计算 $aX_1 + bX_2$ 的期望
根据期望的线性性质，我们有：
$$E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2)$$
将 $E(X_1) = E(X_2) = \mu$ 代入上式，得到：
$$E(aX_1 + bX_2) = a\mu + b\mu = (a + b)\mu$$
步骤 3：证明无偏性
要使 $aX_1 + bX_2$ 为总体均值 $\mu$ 的无偏估计，需要满足 $E(aX_1 + bX_2) = \mu$。根据步骤 2 的结果，我们有：
$$(a + b)\mu = \mu$$
因此，当 $a + b = 1$ 时，$aX_1 + bX_2$ 为总体均值 $\mu$ 的无偏估计。