题目
设X 1，X 2，…，X 16是来自总体N（2，σ 2）的样本，则 4 . X −8 σ ～（ ） A. t（15） B. t（16） C. Χ 2（15） D. N（0，1）
设X
1，X
2，…，X
16是来自总体N（2，σ
2）的样本，则
～（ ）
A. t（15）
B. t（16）
C. Χ 2（15）
D. N（0，1）
4
|
||
| σ |
A. t（15）
B. t（16）
C. Χ 2（15）
D. N（0，1）
题目解答
答案
由正态总体的样本均值的性质可知：
X1，…，X16是来自正态总体N(2，σ2)的样本，则
～N(2，σ2)
则
＝
∽N(0，1)
故选：D．
X1，…，X16是来自正态总体N(2，σ2)的样本，则
|
.
|
| X |
则
|
||
σ/
|
4
|
||
| σ |
故选：D．
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于X _1，X _2，…，X _16是来自总体N（2，σ ^{2}）的样本，根据正态分布的性质，样本均值
.
X
也服从正态分布，即
.
X
～N(2，σ^2/16)。
步骤 2：标准化样本均值
为了将样本均值标准化，我们使用公式
.
X
−μ
σ/
n
，其中μ是总体均值，σ是总体标准差，n是样本大小。将给定的值代入，得到
.
X
−2
σ/4
，因为n=16，所以
n
=4。
步骤 3：计算标准化后的分布
将步骤2中的表达式与题目中的表达式
4
.
X
−8
σ
进行比较，可以发现
4
.
X
−8
σ
=
.
X
−2
σ/4
，因此
4
.
X
−8
σ
～N(0，1)。
由于X _1，X _2，…，X _16是来自总体N（2，σ ^{2}）的样本，根据正态分布的性质，样本均值
.
X
也服从正态分布，即
.
X
～N(2，σ^2/16)。
步骤 2：标准化样本均值
为了将样本均值标准化，我们使用公式
.
X
−μ
σ/
n
，其中μ是总体均值，σ是总体标准差，n是样本大小。将给定的值代入，得到
.
X
−2
σ/4
，因为n=16，所以
n
=4。
步骤 3：计算标准化后的分布
将步骤2中的表达式与题目中的表达式
4
.
X
−8
σ
进行比较，可以发现
4
.
X
−8
σ
=
.
X
−2
σ/4
，因此
4
.
X
−8
σ
～N(0，1)。