4.（单选题，4.0分） 设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且 rho_(XY)=-(1)/(2),设 Z=(1)/(3)X+(1)/(2)Y,则D(Z)=（）。A. 7/9B. 4C. 10/9D. 3

考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及正态分布的性质及相关系数的应用。

解题核心思路：

1. 方差公式：对于线性组合 $Z = aX + bY$，其方差公式为
   $D(Z) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}.$
2. 参数提取：根据题目给出的分布参数和相关系数，代入公式计算即可。

破题关键点：

• 正确识别方差和相关系数：$X \sim N(0,1)$ 的方差为 $1$，$Y \sim N(1,4)$ 的方差为 $4$，相关系数 $\rho_{XY} = -\frac{1}{2}$。
• 系数代入：注意系数 $a = \frac{1}{3}$ 和 $b = \frac{1}{2}$ 的平方及交叉项的符号。

根据方差公式：
$D(Z) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 4}.$

分步计算：

1. 第一项：
   $\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{9}.$
2. 第二项：
   $\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1.$
3. 第三项：
   $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2 = -\frac{1}{3}.$

总和：
$D(Z) = \frac{1}{9} + 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} - \frac{3}{9} = \frac{7}{9}.$