题目
17.设随机变量 sim N(mu ,1) sim N(0,1), 且X与Y相互独立,令-|||-https:/img.cdnjtzy.com/zyb_ca4aadc57f5595cb03700bbb04b1b4ab.jpg= ) 1,Ylt X 0,Xleqslant Y).-|||-(提示: X-Y 的分布是什么?)
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $E(I|X=x)=\Phi (x)$
$E(I|X=x)$ 表示在给定 $X=x$ 的条件下，随机变量 $I$ 的期望值。由于 $I$ 是一个指示变量，其值为1当且仅当 $Y < X$，因此 $E(I|X=x)$ 等于 $P(Y < X|X=x)$。由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$P(Y < X|X=x)$ 等于 $P(Y < x)$，即 $Y$ 小于 $x$ 的概率。由于 $Y$ 是标准正态分布，$P(Y < x)$ 等于 $\Phi(x)$，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 2：证明 $E[\phi(X)] = P(Y < X)$
根据步骤 1 的结果，$E(I|X=x) = \Phi(x)$。由于 $I$ 是一个指示变量，$E[\phi(X)]$ 可以看作是 $I$ 的期望值，即 $P(Y < X)$。
步骤 3：证明 $E[\phi(X)] = \Phi(\mu/\sqrt{2})$
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$X-Y$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $2$。因此，$X-Y$ 的分布为 $N(\mu, 2)$。$P(X-Y > 0)$ 等于 $1 - \Phi(-\mu/\sqrt{2})$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。由于 $\Phi$ 是偶函数，$1 - \Phi(-\mu/\sqrt{2}) = \Phi(\mu/\sqrt{2})$。
$E(I|X=x)$ 表示在给定 $X=x$ 的条件下，随机变量 $I$ 的期望值。由于 $I$ 是一个指示变量，其值为1当且仅当 $Y < X$，因此 $E(I|X=x)$ 等于 $P(Y < X|X=x)$。由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$P(Y < X|X=x)$ 等于 $P(Y < x)$，即 $Y$ 小于 $x$ 的概率。由于 $Y$ 是标准正态分布，$P(Y < x)$ 等于 $\Phi(x)$，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 2：证明 $E[\phi(X)] = P(Y < X)$
根据步骤 1 的结果，$E(I|X=x) = \Phi(x)$。由于 $I$ 是一个指示变量，$E[\phi(X)]$ 可以看作是 $I$ 的期望值，即 $P(Y < X)$。
步骤 3：证明 $E[\phi(X)] = \Phi(\mu/\sqrt{2})$
由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$X-Y$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $2$。因此，$X-Y$ 的分布为 $N(\mu, 2)$。$P(X-Y > 0)$ 等于 $1 - \Phi(-\mu/\sqrt{2})$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。由于 $\Phi$ 是偶函数，$1 - \Phi(-\mu/\sqrt{2}) = \Phi(\mu/\sqrt{2})$。