方程组 } x_1 + x_2 + x_3 = 1 x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 x_1 + kx_2 + x_3 = 0 有唯一解,则 k = -1。A. 对B. 错

本题考察线性方程组解的唯一性与系数矩阵行列式的关系。对于三元线性方程组，若系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解。

步骤1：写出系数矩阵

给定方程组的系数矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{p{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\1 & k & 1 \end{pmatrix}$

步骤2：计算行列式 $\det(A)$

按第一行展开计算行列式：
$\begin{align*}det(A) &= 1 \cdot det\begin3\begin{pmatrix}2 & -1 \\k & 1\end{pmatrix} - 1 \cdot det\begin{pmatrix}1 & -1 \\1 & 1\end{pmatrix} + 1 \cdot det\begin{pmatrix}1 & 2 \\1 & k\end{pmatrix} \\&= 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot k) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (1 \cdot k - 2 \cdot 1) \\= (2 + k) - 1) + (k - 2) \\= (k + 1) + (k - 2) \\= 2k - 1\end{align*}$

步骤3：分析解的唯一性

方程组有唯一解等价于 $det(A) ≠ 0，即 \( k - 1 ≠ 0$，故 $k ≠ 1$。

题目中“$k = -1$”是唯一解的条件，显然错误（$k = -1$仅为满足 ( k≠1的一个值，而非唯一条件）。