题目

一、单项选择题(共20题，每题5分) 第5题 某地发生特大自然灾害的次数X服从参数λ的泊松分布，λ未知。x_(1),x_(2),...,x_(n)为所调查的数据，试估计一下该地不发生特大自然灾害的概率 bigcircA、hat(theta)=overline(x)e^-overline(x) bigcircB、hat(theta)=-overline(x)e^-overline(x) bigcircC、hat(theta)=e^overline(x) bigcircD、hat(theta)=e^-overline(x)

一、单项选择题(共20题，每题5分) 第5题 某地发生特大自然灾害的次数X服从参数λ的泊松分布，λ未知。$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为所调查的数据，试估计一下该地不发生特大自然灾害的概率 $\bigcirc$A、$\hat{\theta}=\overline{x}e^{-\overline{x}}$ $\bigcirc$B、$\hat{\theta}=-\overline{x}e^{-\overline{x}}$ $\bigcirc$C、$\hat{\theta}=e^{\overline{x}}$ $\bigcirc$D、$\hat{\theta}=e^{-\overline{x}}$

题目解答

答案

为了估计该地不发生特大自然灾害的概率，我们首先需要理解泊松分布的性质。泊松分布的参数$\lambda$表示单位时间内发生事件的平均次数。对于泊松分布 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其概率质量函数为： \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 我们感兴趣的是该地不发生特大自然灾害的概率，即 $P(X = 0)$。根据泊松分布的概率质量函数，当 $k = 0$ 时，有： \[ P(X = 0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda} \] 因此，我们需要估计 $e^{-\lambda}$。由于$\lambda$是未知的，我们使用$\lambda$的极大似然估计$\hat{\lambda}$来代替$\lambda$。对于泊松分布，$\lambda$的极大似然估计是样本均值$\overline{x}$。即： \[ \hat{\lambda} = \overline{x} \] 将$\hat{\lambda}$代入 $e^{-\lambda}$ 中，得到： \[ \hat{\theta} = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-\overline{x}} \] 因此，该地不发生特大自然灾害的概率的估计值为： \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率计算及参数估计方法，重点在于理解泊松分布的性质以及极大似然估计的应用。

解题核心思路：

  1. 泊松分布的概率质量函数：明确泊松分布中事件发生次数的概率表达式，特别是不发生事件（即$X=0$）的概率形式。
  2. 参数估计：利用样本均值作为泊松分布参数$\lambda$的极大似然估计，代入概率表达式中得到最终结果。

破题关键点：

  • 不发生灾害的概率对应泊松分布中$X=0$的情况，其概率为$e^{-\lambda}$。
  • 极大似然估计指出$\lambda$的估计值为样本均值$\overline{x}$，因此最终结果为$e^{-\overline{x}}$。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
其中$\lambda$为平均发生次数。题目要求计算不发生灾害的概率，即$P(X=0)$，代入$k=0$得：
$P(X=0) = e^{-\lambda}$

由于$\lambda$未知，需通过样本数据估计。泊松分布的极大似然估计表明，$\lambda$的估计值为样本均值$\overline{x}$，即：
$\hat{\lambda} = \overline{x}$

将$\hat{\lambda}$代入$e^{-\lambda}$中，得到不发生灾害概率的估计值：
$\hat{\theta} = e^{-\overline{x}}$

选项分析：

  • A、B、C均不符合泊松分布的性质或概率范围要求。
  • D正确应用了极大似然估计，结果合理。