题目
16.判断题(5分)每行元素之和为零的n阶行列式的值一定等于零.√ ×
16.判断题(5分)
每行元素之和为零的n阶行列式的值一定等于零.
√ ×
题目解答
答案
将第2列至第 $n$ 列的元素均加到第1列，由于每行元素之和为零，第1列变为全零列。行列式中存在全零列，其值必为零。
因此，答案为 $\boxed{\sqrt{}}$。
解析
步骤 1：理解题目条件
题目给出的条件是每行元素之和为零，即对于一个 $n$ 阶行列式 $D$，其第 $i$ 行元素之和为零，即 $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$，其中 $a_{ij}$ 是行列式 $D$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
步骤 2：应用行列式性质
根据行列式的性质，如果行列式中有一列（或一行）的元素全为零，则该行列式的值为零。因此，我们需要构造一个全零列。
步骤 3：构造全零列
将第2列至第 $n$ 列的元素均加到第1列，即对第1列进行如下操作：$c_1' = c_1 + c_2 + \cdots + c_n$，其中 $c_i$ 表示第 $i$ 列。由于每行元素之和为零，即 $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$，因此第1列变为全零列，即 $c_1' = 0$。
步骤 4：得出结论
由于行列式中存在全零列，其值必为零。因此，每行元素之和为零的 $n$ 阶行列式的值一定等于零。
题目给出的条件是每行元素之和为零，即对于一个 $n$ 阶行列式 $D$，其第 $i$ 行元素之和为零，即 $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$，其中 $a_{ij}$ 是行列式 $D$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
步骤 2：应用行列式性质
根据行列式的性质，如果行列式中有一列（或一行）的元素全为零，则该行列式的值为零。因此，我们需要构造一个全零列。
步骤 3：构造全零列
将第2列至第 $n$ 列的元素均加到第1列，即对第1列进行如下操作：$c_1' = c_1 + c_2 + \cdots + c_n$，其中 $c_i$ 表示第 $i$ 列。由于每行元素之和为零，即 $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$，因此第1列变为全零列，即 $c_1' = 0$。
步骤 4：得出结论
由于行列式中存在全零列，其值必为零。因此，每行元素之和为零的 $n$ 阶行列式的值一定等于零。