题目
设单位质点 P, Q 分别位于点 (0,0) 和 (0,1) 处，P 从点 (0,0) 出发沿 x 轴正向移动，记 G 为引力常量，则当质点 P 移动到点 (l,0) 时，克服质点 Q 的引力所做的功为 A. int_(0)^l (G)/(x^2 + 1) dxB. int_(0)^l (Gx)/((x^2 + 1)^3/2) dxC. int_(0)^l (G)/((x^2 + 1)^3/2) dxD. int_(0)^l (G(x+1))/((x^2 + 1)^3/2) dx
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l,0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为
- A. $\int_{0}^{l} \frac{G}{x^2 + 1} dx$
- B. $\int_{0}^{l} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
- C. $\int_{0}^{l} \frac{G}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
- D. $\int_{0}^{l} \frac{G(x+1)}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
题目解答
答案
为了确定当质点 $ P $ 从点 $ (0,0) $ 移动到点 $ (l,0) $ 时，克服质点 $ Q $ 的引力所做的功，我们需要遵循以下步骤：
1. **计算质点 $ P $ 和 $ Q $ 之间的引力：**
质点 $ P $ 和 $ Q $ 之间的引力 $ F $ 由万有引力定律给出：
\[
F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}
\]
其中 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 是质点的质量，$ r $ 是它们之间的距离。由于两个质点都是单位质量，$ m_1 = m_2 = 1 $，所以引力简化为：
\[
F = \frac{G}{r^2}
\]
质点 $ P $ 在 $ (x,0) $ 处，质点 $ Q $ 在 $ (0,1) $ 处时，它们之间的距离 $ r $ 为：
\[
r = \sqrt{x^2 + 1}
\]
因此，引力为：
\[
F = \frac{G}{x^2 + 1}
\]
2. **确定引力在 $ P $ 移动方向上的分量：**
引力是一个向量，指向质点 $ Q $。引力在 $ x $-方向上的分量 $ F_x $ 为：
\[
F_x = F \cos \theta
\]
其中 $ \theta $ 是引力向量与 $ x $-轴之间的角度。从图中，我们看到：
\[
\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
因此，引力在 $ x $-方向上的分量为：
\[
F_x = \frac{G}{x^2 + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}}
\]
3. **计算克服引力所做的功：**
克服引力所做的功 $ W $ 是克服引力在 $ x $-方向上的分量在 $ P $ 移动距离上的积分：
\[
W = \int_{0}^{l} -F_x \, dx = \int_{0}^{l} -\frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx
\]
由于我们被要求找到克服引力所做的功，我们取积分的绝对值：
\[
W = \int_{0}^{l} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查万有引力定律的应用以及变力做功的积分计算。关键在于正确分析引力的大小及其在运动方向上的分量，并建立积分表达式。
解题核心思路：
- 确定引力大小：根据万有引力公式，计算两质点间的引力大小。
- 分解引力分量：将引力分解为沿运动方向（x轴）的分量。
- 建立积分表达式：对引力的分量沿运动路径积分，得到克服引力所做的功。
破题关键点：
- 引力方向与运动方向的夹角：需通过几何关系确定分力的表达式。
- 积分变量的正确选择：明确积分变量为质点P的x坐标，而非时间或其他变量。
步骤1：计算引力大小
根据万有引力公式，两质点间的引力大小为：
$F = \frac{G}{r^2}$
其中，$r$为两点间距，当质点P位于$(x,0)$时，$r = \sqrt{x^2 + 1}$，因此：
$F = \frac{G}{x^2 + 1}$
步骤2：分解引力的x分量
引力方向沿PQ连线，与x轴正方向的夹角$\theta$满足：
$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
因此，x方向的分力为：
$F_x = F \cdot \cos\theta = \frac{G}{x^2 + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}}$
步骤3：计算克服引力的功
克服引力所做的功为分力$F_x$沿x轴从$0$到$l$的积分：
$W = \int_{0}^{l} F_x \, dx = \int_{0}^{l} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx$