设单位质点 P, Q 分别位于点 (0,0) 和 (0,1) 处，P 从点 (0,0) 出发沿 x 轴正向移动，记 G 为引力常量，则当质点 P 移动到点 (l,0) 时，克服质点 Q 的引力所做的功为A. int_(0)^l (G)/(x^2 + 1) dxB. int_(0)^l (Gx)/((x^2 + 1)^3/2) dxC. int_(0)^l (G)/((x^2 + 1)^3/2) dxD. int_(0)^l (G(x+1))/((x^2 + 1)^3/2) dx

考查要点：本题主要考查万有引力定律的应用以及变力做功的积分计算。关键在于正确分析引力的大小及其在运动方向上的分量，并建立积分表达式。

解题核心思路：

1. 确定引力大小：根据万有引力公式，计算两质点间的引力大小。
2. 分解引力分量：将引力分解为沿运动方向（x轴）的分量。
3. 建立积分表达式：对引力的分量沿运动路径积分，得到克服引力所做的功。

破题关键点：

• 引力方向与运动方向的夹角：需通过几何关系确定分力的表达式。
• 积分变量的正确选择：明确积分变量为质点P的x坐标，而非时间或其他变量。

步骤1：计算引力大小

根据万有引力公式，两质点间的引力大小为：
$F = \frac{G}{r^2}$
其中，$r$为两点间距，当质点P位于$(x,0)$时，$r = \sqrt{x^2 + 1}$，因此：
$F = \frac{G}{x^2 + 1}$

步骤2：分解引力的x分量

引力方向沿PQ连线，与x轴正方向的夹角$\theta$满足：
$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
因此，x方向的分力为：
$F_x = F \cdot \cos\theta = \frac{G}{x^2 + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

步骤3：计算克服引力的功

克服引力所做的功为分力$F_x$沿x轴从$0$到$l$的积分：
$W = \int_{0}^{l} F_x \, dx = \int_{0}^{l} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx$