已知向量组 alpha_1=(1,2,3)，alpha_2=(1,2,0)，alpha_3=(t,1,-2) 线性相关，则实数 t= _________.

本题考查向量组线性相关的性质以及行列式的计算。解题思路是根据向量组线性相关的性质，将向量组构成矩阵，通过计算该矩阵的行列式并令其等于零，进而求解出实数 $t$ 的值。

1. 构造矩阵：
   已知向量组 $\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(1,2,0)$，$\alpha_3=(t,1,-2)$，将它们按列构成矩阵 $A$：
   $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & t \\2 & 2 & 1 \\3 & 0 & -2\end{pmatrix}$
2. 利用线性相关性质列方程：
   因为向量组线性相关，根据向量组线性相关的性质可知，由该向量组构成的矩阵的行列式为零，即 $\det(A) = 0$。
3. 计算行列式 $\det(A)$：
   根据三阶行列式的计算公式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，对矩阵 $A$ 的行列式进行计算：
   $\det(A) = 1\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\0 & -2\end{vmatrix} - 1\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\3 & -2\end{vmatrix} + t\times\begin{vmatrix}2 & 2 \\3 & 0\end{vmatrix}$
   分别计算二阶行列式：
   • $\begin{vmatrix}2 & 1 \\0 & -2\end{vmatrix}=2\times(-2)-1\times0=-4$
   • $\begin{vmatrix}2 & 1 \\3 & -2\end{vmatrix}=2\times(-2)-1\times3=-4 - 3=-7$
   • $\begin{vmatrix}2 & 2 \\3 & 0\end{vmatrix}=2\times0 - 2\times3=-6$
     将上述结果代入 $\det(A)$ 的表达式中：
     $\det(A)=1\times(-4)-1\times(-7)+t\times(-6)=-4 + 7 - 6t=3 - 6t$
4. 求解 $t$ 的值：
   令 $\det(A) = 0$，即 $3 - 6t = 0$，移项可得 $6t = 3$，两边同时除以 $6$，解得 $t = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。