Chap8.已知在正常生产的情况下，某种汽车零件的重量(克)服从正态分布N(54，4)，在某日生产的零件中抽取16件，测得其重量的平均值为overline(x)=56.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常(取显著性水平α=0.05，Φ(1.96)=0.975，Φ(2.58)=0.995)？A 正常B 不正常

本题考查正态总体均值的假设检验知识。解题思路是先根据题目信息提出零假设和备择假设，确定显著性水平，选择合适的检验统计量，计算检验统计量的值，再根据显著性水平确定临界值，最后比较检验统计量的值与临界值，从而判断是否拒绝零假设，得出该日生产的零件平均重量是否正常的结论。

1. 提出假设：
   • 零假设 $H_0$：该日生产的零件的平均重量正常，即 $\mu = 54$。
   • 备择假设 $H_1$：该日生产的零件的平均重量不正常，即 $\mu \neq 54$。
2. 确定显著性水平：
   • 已知显著性水平 $\alpha = 0.05$。
3. 选择检验统计量：
   • 因为总体方差已知，样本量 $n = 16$（小样本），所以使用 $Z$ 检验统计量。
   • 检验统计量公式为 $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。
4. 计算检验统计量的值：
   • 已知样本均值 $\overline{X} = 56.3$，总体均值 $\mu_0 = 54$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$，样本量 $n = 16$。
   • 将这些值代入公式可得：
     $\begin{align*}Z&=\frac{56.3 - 54}{2 / \sqrt{16}}\\&=\frac{2.3}{2 / 4}\\&=\frac{2.3}{0.5}\\&= 4.6\end{align*}$
5. 确定临界值：
   • 这是一个双侧检验，需要找到 $Z_{\alpha/2}$。
   • 对于 $\alpha = 0.05$，则 $\alpha/2 = 0已提到\(\Phi(1.96)=0.975$，根据标准正态分布的性质，$Z_{0.025} = 1.96$。
6. 比较检验统计量的值与临界值：
   • 检验统计量 $Z = 4.6$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
   • 由于 $4.6 > 1.96$，即检验统计量的值落在拒绝域内，所以拒绝零假设 $H_0$。
7. 得出结论：
   • 拒绝零假设，意味着有足够的证据表明该日生产的零件的平均重量不正常。