20.（2.0分）假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-P，且各引擎是否有故障是独立的。如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P的取值范围是（）.A ((2)/(3),1)B (0,(2)/(3))C ((1)/(3),1)D (0,(1)/(4))

题目分析

首先，我们需要明确题目中给出的已知条件：

• 每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 $1-P$。
• 那么，每个引擎能正常运行的概率为 $P$（因为正常运行与故障是互斥的，且概率和为 1）。
• 各引擎是否有故障是独立的。
• 成功飞行的条件：至少有 $50\%$ 的引擎能正常运行。

我们需要分别计算 4 引擎飞机和 2 引擎飞机成功飞行的概率，并根据“4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全”（即 4 引擎飞机成功飞行的概率大于 2 引擎飞机成功飞行的概率）来求解 $P$ 的取值范围。

1. 计算 2 引擎飞机成功飞行的概率

对于 2 引擎飞机，至少 $50\%$ 的引擎正常运行，即至少需要 $2 \times 50\% = 1$ 个引擎正常运行。

• 正常运行的引擎数 $X$ 服从二项分布 $B(2, P)$。
• 成功飞行的情况包括：恰好 1 个引擎正常，或恰好 2 个引擎正常。

成功飞行的概率 $P_2$ 为：
$P_2 = C_2^1 P^1 (1-P)^1 + C_2^2 P^2 (1-P)^0 = 2P(1-P) + P^2 = 2P - 2P^2 + P^2 = 2P - P^2 = 1 - (1 - 2P + P^2) = 1 - (1-P)^2$

2. 计算 4 引擎飞机成功飞行的概率

对于 4 引擎飞机，至少 $50\%$ 的引擎正常运行，即至少需要 $4 \times 50\% = 2$ 个引擎正常运行。

• 正常运行的引擎数 $Y$ 服从二项分布 $B(4, P)$。
• 成功飞行的情况包括：恰好 2 个、3 个或 4 个引擎正常。

成功飞行的概率 $P_4$ 为：
$P_4 = C_4^2 P^2 (1-P)^2 + C_4^3 P^3 (1-P)^1 + C_4^4 P^4 (1-P)^0$
$P_4 = 6P^2(1-P)^2 + 4P^3(1-P) + P^4$

3. 建立不等式

要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全，需满足 $P_4 > P_2$：
$6P^2(1-P)^2 + 4P^3(1-P) + P^4 > 2P(1-P) + P^2$

我们将右边化简为 $2P - P^2$，左边展开：

• $6P^2(1 - 2P + P^2) = 6P^2 - 12P^3 + 6P^4$
• $4P^3(1 - P) = 4P^3 - 4P^4$
• 加上 $P^4$，左边总和为：$6P^2 - 12P^3 + 6P^4 + 4P^3 - 4P^4 + P^4 = 6P^2 - 8P^3 + 3P^4$

所以不等式为：
$3P^4 - 8P^3 + 6P^2 > 2P - P^2 \implies 3P^4 - 8P^3 + 7P^2 - 2P > 0$

提取公因式 $P$：
$P(3P^3 - 8P^2 + 7P - 2) > 0$

因为 $P$ 是概率，所以 $P \in (0, 1)$，则 $P > 0$。我们需要解 $3P^3 - 8P^2 + 7P - 2 > 0$。
尝试代入 $P = \frac{2}{3}$：
$3 \times \left(\frac{8}{27}\right) - 8 \times \left(\frac{4}{9}\right) + 7 \times \left(\frac{2}{3}\right) - 2 = \frac{8}{9} - \frac{32}{9} + \frac{14}{3} - 2 = \frac{8 - 32 + 42 - 18}{9} = 0$
所以 $P = \frac{2}{3}$ 是一个根，多项式可以分解为 $(P - \frac{2}{3})$ 的倍数，即 $(3P - 2)$。
通过多项式除法可知：$3P^3 - 8P^2 + 7P - 2 = (3P - 2)(P^2 - 2P + 1) = (3P - 2)(P - 1)^2$。

不等式变为：
$P(3P - 2)(P - 1)^2 > 0$
由于 $P \in (0, 1)$，则 $P > 0$ 且 $(P - 1)^2 > 0$。因此只需 $3P - 2 > 0 \implies P > \frac{2}{3}$。

结合 $P < 1$，得出 $P \in (\frac{2}{3}, 1)$。

结论

$P$ 的取值范围是 $(\frac{2}{3}, 1)$。

答案：A