(11)设曲线y=f(x)=(1)/(1+x^n)，在其上点(1,(1)/(2))处的切线与x轴交于点(x_(n),0)，则lim_(ntoinfty)f(x_(n))=_____.
题目解答
答案
设曲线 $ y = f(x) = \frac{1}{1 + x^n} $，在点 $ (1, \frac{1}{2}) $ 处的切线斜率为 $ f'(1) $。
首先，计算导数：
$f'(x) = \frac{-nx^{n-1}}{(1 + x^n)^2}$
代入 $ x = 1 $，得：
$f'(1) = \frac{-n}{4}$
切线方程为：
$y - \frac{1}{2} = \frac{-n}{4}(x - 1)$
令 $ y = 0 $，解得切线与 $ x $-轴交点 $ x_n = 1 + \frac{2}{n} $。
接下来，求 $ \lim_{n \to \infty} f(x_n) $：
$f(x_n) = \frac{1}{1 + \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n}$
由极限公式 $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2 $，得：
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \frac{1}{1 + e^2}$
答案： $\boxed{\frac{1}{1+e^2}}$
解析
考查要点：本题主要考查导数的几何意义（切线方程）、极限的计算，以及自然指数函数的极限形式。
解题核心思路：
- 求导数：计算函数$f(x)=\frac{1}{1+x^n}$在$x=1$处的导数，得到切线斜率。
- 写切线方程：利用点斜式方程写出切线方程。
- 求切线与x轴交点：令$y=0$，解出$x_n$的表达式。
- 求极限：将$x_n$代入$f(x)$，利用极限公式$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a$化简表达式。
破题关键点：
- 导数计算：注意分母的平方项和分子的负号。
- 极限形式识别：将$\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$与$e^2$对应。
1. 求导数$f'(1)$
函数$f(x)=\frac{1}{1+x^n}$的导数为：
$f'(x) = \frac{-nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}$
代入$x=1$：
$f'(1) = \frac{-n \cdot 1^{n-1}}{(1+1^n)^2} = \frac{-n}{4}$
2. 写切线方程
切线方程为：
$y - \frac{1}{2} = \frac{-n}{4}(x - 1)$
3. 求切线与x轴交点$x_n$
令$y=0$，解得：
$0 - \frac{1}{2} = \frac{-n}{4}(x_n - 1) \implies x_n = 1 + \frac{2}{n}$
4. 求$\lim_{n\to\infty}f(x_n)$
将$x_n=1+\frac{2}{n}$代入$f(x)$：
$f(x_n) = \frac{1}{1+\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}$
利用极限公式$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n = e^2$，得：
$\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \frac{1}{1+e^2}$