题目
九、(10分)某种导线的电阻服从正态分布,要求电阻的标准差不得超过0.004,今从该厂生产的一批导线中任取10根,测得其电阻标准差S=0.006,能否认为这批导线标准差显著偏大?( ()
九、(10分)某种导线的电阻服从正态分布,要求电阻的标准差不得超过0.004
,今从该厂生产的一批导线中任取10根,测得其电阻标准差S=0.006,能否认为这批导线标准差显著偏大?(
(
)
题目解答
答案
解:
分布
拒绝域为
而
拒绝
认为导线标准差显著偏大
解析
步骤 1：假设检验
我们首先设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。原假设${H}_{0}$是导线电阻的标准差不超过0.004，即$\sigma \leqslant 0.004$。备择假设${H}_{1}$是导线电阻的标准差大于0.004，即$\sigma \gt 0.004$。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目，我们有样本容量$n=10$，样本标准差$S=0.006$，以及假设的标准差${\sigma}_{0}=0.004$。检验统计量${x}^{2}$的计算公式为${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}}$。将已知数值代入公式，得到${x}^{2}=\dfrac {(10-1){(0.006)}^{2}}{{(0.004)}^{2}}=\dfrac {9\times 0.000036}{0.000016}=\dfrac {0.000324}{0.000016}=\dfrac {324}{16}=20.25$。
步骤 3：确定拒绝域
根据题目给出的显著性水平$\alpha =0.05$，以及自由度$n-1=9$，查表得到${x}^{2}0.05(9)=16.92$。因此，拒绝域为$W=\{ {x}^{2}\gt {x}^{2}0.05(9)\} =\{ {x}^{2}\gt 16.92\}$。
步骤 4：判断
由于计算得到的检验统计量${x}^{2}=20.25$大于临界值${x}^{2}0.05(9)=16.92$，因此落入拒绝域，我们拒绝原假设${H}_{0}$，认为这批导线的标准差显著偏大。
我们首先设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。原假设${H}_{0}$是导线电阻的标准差不超过0.004，即$\sigma \leqslant 0.004$。备择假设${H}_{1}$是导线电阻的标准差大于0.004，即$\sigma \gt 0.004$。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目，我们有样本容量$n=10$，样本标准差$S=0.006$，以及假设的标准差${\sigma}_{0}=0.004$。检验统计量${x}^{2}$的计算公式为${x}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }_{0}^{2}}$。将已知数值代入公式，得到${x}^{2}=\dfrac {(10-1){(0.006)}^{2}}{{(0.004)}^{2}}=\dfrac {9\times 0.000036}{0.000016}=\dfrac {0.000324}{0.000016}=\dfrac {324}{16}=20.25$。
步骤 3：确定拒绝域
根据题目给出的显著性水平$\alpha =0.05$，以及自由度$n-1=9$，查表得到${x}^{2}0.05(9)=16.92$。因此，拒绝域为$W=\{ {x}^{2}\gt {x}^{2}0.05(9)\} =\{ {x}^{2}\gt 16.92\}$。
步骤 4：判断
由于计算得到的检验统计量${x}^{2}=20.25$大于临界值${x}^{2}0.05(9)=16.92$，因此落入拒绝域，我们拒绝原假设${H}_{0}$，认为这批导线的标准差显著偏大。