题目

7.设随机变量X与Y相互独立,且 (X)=E(Y)=1, D(X)=2 (Y)=4, 求-|||-[ ((X+Y))^2] .

题目解答

答案

解析

本题主要考察随机变量数字特征的计算，具体涉及数学期望的性质、方差的定义及独立独立随机变量的性质。

关键公式回顾

  1. 方差定义：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，变形得$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$。
  2. 独立随机变量的期望性质：若$X$与$Y$独立，则，则$E(XY)=E(X)E(Y)$。
  3. 完全平方展开：$(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$，故$E[(X+Y)^2] = E(X^2) + 2XY + Y^2)$。

分步计算

  1. 展开期望：
    $E[(X+Y)^2] = E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2)$

  2. 计算$E，四个选项均正确，答案为ABCD。$

    • 对$X$：$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3$
    • 对$Y$：$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 4 + 1^2 = 5$

  3. 计算$E(XY)$：
    因$X$与$Y$独立，故$E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \times 1 = 1$。

  4. 代入求和：
    $E[(X+Y)^2] = 3 + 2 \times 1 + 5 = 3 + 2 + 5 = 10$