题目
口○固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ） A. 它滑过的弧长 B. 它下降的高度 C. 它到P点的距离 D. 它与P点的连线扫过的面积
固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）- A. 它滑过的弧长
- B. 它下降的高度
- C. 它到P点的距离
- D. 它与P点的连线扫过的面积
题目解答
答案
解：设下滑过程中，它到P点距离为L，下滑高度为h，圆环半径为R，如图
由几何关系得
sinθ=$\frac{h}{L}=\frac{L}{2R}$
根据机械能守恒定律得
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：v=L$\sqrt{\frac{g}{R}}$，
故C正确，ABD错误；
故选：C。
由几何关系得
sinθ=$\frac{h}{L}=\frac{L}{2R}$
根据机械能守恒定律得
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：v=L$\sqrt{\frac{g}{R}}$，
故C正确，ABD错误；
故选：C。
解析
步骤 1：确定小环的运动状态
小环在大圆环上自由下滑，由于大圆环是光滑的，所以小环在下滑过程中只有重力做功，没有摩擦力做功，因此小环的机械能守恒。
步骤 2：应用机械能守恒定律
设小环下滑的高度为h，小环的速率v，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L。根据机械能守恒定律，小环的重力势能转化为动能，即
mgh = $\frac{1}{2}mv^2$
其中，m是小环的质量，g是重力加速度。
步骤 3：确定小环的速率与它到P点的距离的关系
由几何关系可知，小环到P点的距离L与它下降的高度h之间的关系为
sinθ = $\frac{h}{L} = \frac{L}{2R}$
其中，θ是小环与P点连线与竖直方向的夹角。将h = Lsinθ代入机械能守恒定律的方程中，得到
mgLsinθ = $\frac{1}{2}mv^2$
由于sinθ = $\frac{L}{2R}$，代入上式，得到
mgL$\frac{L}{2R}$ = $\frac{1}{2}mv^2$
化简得到
v = L$\sqrt{\frac{g}{R}}$
小环在大圆环上自由下滑，由于大圆环是光滑的，所以小环在下滑过程中只有重力做功，没有摩擦力做功，因此小环的机械能守恒。
步骤 2：应用机械能守恒定律
设小环下滑的高度为h，小环的速率v，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L。根据机械能守恒定律，小环的重力势能转化为动能，即
mgh = $\frac{1}{2}mv^2$
其中，m是小环的质量，g是重力加速度。
步骤 3：确定小环的速率与它到P点的距离的关系
由几何关系可知，小环到P点的距离L与它下降的高度h之间的关系为
sinθ = $\frac{h}{L} = \frac{L}{2R}$
其中，θ是小环与P点连线与竖直方向的夹角。将h = Lsinθ代入机械能守恒定律的方程中，得到
mgLsinθ = $\frac{1}{2}mv^2$
由于sinθ = $\frac{L}{2R}$，代入上式，得到
mgL$\frac{L}{2R}$ = $\frac{1}{2}mv^2$
化简得到
v = L$\sqrt{\frac{g}{R}}$