2) (1)设rv.X~N(0,1)，试求Y=X²的概率密度f(y)，并确定该概率密度对应分布与χ²(n)的关系;(2)给出χ²(n)与Γ(α,β)的概率密度，并确定两者之间的关系;(3)试证明相互独立的若干Γ分布随机变量对于其第一个参数具有可加性，即若X_(1)~Gamma(α_(1),β),X_(2)~Gamma(α_(2),β)且X_(1),X_(2)相互独立，则X_(1)+X_(2)~Gamma(α_(1)+α_(2),β)。(4)基于以上结论，证明：若X_(i)~N(0,1),i=1,2,...,n，则Z=X_(1)^2+...+X_(n)^2~χ²(n)

(1) 令 $Y = X^2$，其中 $X \sim N(0,1)$，则 $Y$ 的概率密度函数为： $$ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2}}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0, \end{cases} $$ 对应于自由度为 1 的卡方分布，即 $Y \sim \chi^2(1)$。 (2) 卡方分布 $\chi^2(n)$ 的概率密度函数为： $$ f_{\chi^2(n)}(y) = \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} y^{n/2-1} e^{-y/2}, \quad y > 0, $$ 伽玛分布 $\Gamma(\alpha, \beta)$ 的概率密度函数为： $$ f_{\Gamma(\alpha, \beta)}(y) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-\beta y}, \quad y > 0, $$ 两者关系为 $\chi^2(n) \equiv \Gamma(n/2, 1/2)$。 (3) 若 $X_1 \sim \Gamma(\alpha_1, \beta)$，$X_2 \sim \Gamma(\alpha_2, \beta)$ 且独立，则 $X_1 + X_2 \sim \Gamma(\alpha_1 + \alpha_2, \beta)$。 (4) 若 $X_i \sim N(0,1)$（$i=1,2,\cdots,n$），则 $Z = X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$。 $$ \boxed{ \begin{array}{ll} \text{(1) } f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2}}, & y > 0, \\ \text{(2) } \chi^2(n) \equiv \Gamma(n/2, 1/2), \\ \text{(3) } X_1 + X_2 \sim \Gamma(\alpha_1 + \alpha_2, \beta), \\ \text{(4) } Z \sim \chi^2(n). \end{array} } $$