设随机变量 X_1, X_2, X_3 是来自正态总体 X sim N(mu, 3^2) 的样本，则当 a= ()时，mu = (2)/(5) X_1 + (1)/(5) X_2 + a X_3 是总体均值 mu 的无偏估计。A. (3)/(5)B. (2)/(5)C. (5)/(6)D. (1)/(2)

本题考查无偏估计的概念以及正态分布样本均值的期望性质。解题的关键在于利用无偏估计的定义，即估计量的期望等于被估计的参数，结合正态分布样本的期望性质来求解参数 $a$ 的值。

1. 首先明确无偏估计的定义：
   • 若$\hat{\theta}$是总体参数$\theta$的无偏估计，则$E(\hat{\theta})=\theta$。
   • 在本题中，$\hat{\mu}=\frac{2}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + aX_3$是总体均值$\mu$的无偏估计，所以$E(\hat{\mu}) = \mu$。
2. 然后根据期望的线性性质计算$E(\hat{\mu})$：
   • 期望的线性性质为$E(c_1Y_1 + c_2Y_2+\cdots + c_nY_n)=c_1E(Y_1)+c_2E(Y_2)+\cdots + c_nE(Y_n)$，其中$c_i$为常数，$Y_i$为随机变量。
   • 已知$X_1,X_2,X_3$是来自正态总体$X\sim N(\mu,3^2)$的样本，根据正态分布的性质，样本的期望等于总体的期望，即$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$。
   • 那么$E(\hat{\mu})=E(\frac{2}{5}X_1 + \frac{1}{5}X_2 + aX_3)$
     • 根据期望的线性性质可得$E(\hat{\mu})=\frac{2}{5}E(X_1)+\frac{1}{5}E(X_2)+aE(X_3)$。
     • 把$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$代入上式，得到$E(\hat{\mu})=\frac{2}{5}\mu+\frac{1}{5}\mu + a\mu$。
     • 合并同类项可得$E(\hat{\mu})=(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}+a)\mu$。
3. 最后求解$a$的值：
   • 因为$E(\hat{\mu}) = \mu$，所以$(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}+a)\mu=\mu$。
   • 由于$\mu$为总体均值，$\mu\neq0$（若$\mu = 0$，则总体均值为$0$，但本题讨论的是一般情况），等式两边同时除以$\mu$，得到$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}+a = 1$。
   • 先计算$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2 + 1}{5}=\frac{3}{5}$，则$\frac{3}{5}+a = 1$。
   • 移项可得$a=1-\frac{3}{5}$。
   • 计算$1-\frac{3}{5}=\frac{5 - 3}{5}=\frac{2}{5}$。