题目
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程hat(y)=hat(b)x+hat(a)；hat(b)=((sum_{i=1)^n(（{x_i)-bar(x)）（(y_i)-bar(y)）}})/((sum_{i=1)^n{（{x_i)-bar(x)}(）^2)}}=((sum_{i=1)^n({x_i)/(y_i))-noverline(x)overline(y)}}({sum_{i=1)^n(x_i^2)-n({overline{x)}^2}}}，hat(a)=bar(y)-hat(b)bar(x)．
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$\hat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar{x}）（{y_i}-\bar{y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar{x}}{）^2}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline{x}}^2}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．
| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$\hat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar{x}）（{y_i}-\bar{y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar{x}}{）^2}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline{x}}^2}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$．
题目解答
答案
解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）由对照数据，计算得$\sum _{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum _{i=1}^{4}$xiyi=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为b=$\frac{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35
（2）由对照数据，计算得$\sum _{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum _{i=1}^{4}$xiyi=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为b=$\frac{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35
解析
考查要点：本题主要考查散点图的绘制和线性回归方程的求解，涉及最小二乘法的应用。
解题核心思路：
- 散点图：通过坐标点直观反映变量间的关系，观察是否存在线性趋势。
- 线性回归方程：利用最小二乘法公式计算斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$，需准确计算数据的平均值、协方差和方差。
破题关键点：
- 数据计算：正确计算$\sum x_i^2$、$\sum x_i y_i$、$\bar{x}$、$\bar{y}$。
- 公式应用：严格按照最小二乘法公式代入计算$\hat{b}$和$\hat{a}$，避免符号或步骤错误。
第（1）题
散点图绘制步骤：
- 以产量$x$为横轴，生产能耗$y$为纵轴，建立坐标系。
- 标出四组数据点：$(3, 2.5)$、$(4, 3)$、$(5, 4)$、$(6, 4.5)$。
- 观察点的分布：随着$x$增大，$y$整体呈上升趋势，说明存在正相关关系。
第（2）题
线性回归方程求解：
计算数据平均值
$\bar{x} = \frac{3+4+5+6}{4} = 4.5, \quad \bar{y} = \frac{2.5+3+4+4.5}{4} = 3.5$
计算$\sum x_i^2$和$\sum x_i y_i$
$\sum x_i^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86$
$\sum x_i y_i = 3 \times 2.5 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 4.5 = 7.5 + 12 + 20 + 27 = 66.5$
计算斜率$\hat{b}$
$\hat{b} = \frac{\sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}}{\sum x_i^2 - n \bar{x}^2} = \frac{66.5 - 4 \times 4.5 \times 3.5}{86 - 4 \times 4.5^2} = \frac{66.5 - 63}{86 - 81} = \frac{3.5}{5} = 0.7$
计算截距$\hat{a}$
$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} = 3.5 - 0.7 \times 4.5 = 3.5 - 3.15 = 0.35$
结论：线性回归方程为$\hat{y} = 0.7x + 0.35$。