题目
19.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(以百分制计)近似地服从 mu =72 的正态分布,已知-|||-96分以上的人数占总数的2.3%,试求考生的成绩大于等于60分的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布参数
已知考生的外语成绩服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 72$。根据题设，96分以上的人数占总数的2.3%，即 $P(X > 96) = 0.023$。利用标准正态分布表，可以找到对应的 $z$ 值。
步骤 2：计算标准差 $\sigma$
根据正态分布的性质，$P(X > 96) = P(Z > \frac{96 - 72}{\sigma}) = 0.023$。查标准正态分布表，$P(Z > 2) \approx 0.023$，因此 $\frac{96 - 72}{\sigma} = 2$，解得 $\sigma = 12$。
步骤 3：计算 $P(X \geq 60)$
现在已知正态分布的参数为 $N(72, 12^2)$，要求 $P(X \geq 60)$。首先将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{60 - 72}{12} = -1$。查标准正态分布表，$P(Z \geq -1) = 0.8413$。
已知考生的外语成绩服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 72$。根据题设，96分以上的人数占总数的2.3%，即 $P(X > 96) = 0.023$。利用标准正态分布表，可以找到对应的 $z$ 值。
步骤 2：计算标准差 $\sigma$
根据正态分布的性质，$P(X > 96) = P(Z > \frac{96 - 72}{\sigma}) = 0.023$。查标准正态分布表，$P(Z > 2) \approx 0.023$，因此 $\frac{96 - 72}{\sigma} = 2$，解得 $\sigma = 12$。
步骤 3：计算 $P(X \geq 60)$
现在已知正态分布的参数为 $N(72, 12^2)$，要求 $P(X \geq 60)$。首先将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{60 - 72}{12} = -1$。查标准正态分布表，$P(Z \geq -1) = 0.8413$。