题目
6.某种药品质量服从正态分布，规定其质量的方差sigma^2=0.025，现从某天的产品中抽取16袋，测得样本方差s^2=0.036，问该天生产的药品质量的方差是否符合标准？（取显著性水平α=0.05）
6.某种药品质量服从正态分布，规定其质量的方差$\sigma^{2}=0.025$，现从某天的产品中抽取16袋，测得样本方差$s^{2}=0.036$，问该天生产的药品质量的方差是否符合标准？（取显著性水平α=0.05）
题目解答
答案
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.025$，备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.025$。
检验统计量：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{15 \times 0.036}{0.025} = 21.6
\]
自由度 $df = 15$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值：
\[
\chi^2_{0.025}(15) \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) \approx 6.262
\]
统计量 $21.6$ 落在区间 $(6.262, 27.488)$ 内，不拒绝 $H_0$。
**结论：**
该天生产的药品质量的方差符合标准。
\[
\boxed{\text{符合标准}}
\]
解析
步骤 1：设定假设
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.025$，即药品质量的方差符合标准。
备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.025$，即药品质量的方差不符合标准。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为卡方分布，计算公式为：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \]
其中，$n$ 为样本容量，$s^2$ 为样本方差，$\sigma_0^2$ 为假设的总体方差。
代入数据：\[ \chi^2 = \frac{(16-1) \times 0.036}{0.025} = \frac{15 \times 0.036}{0.025} = 21.6 \]
步骤 3：确定临界值
自由度 $df = n - 1 = 15$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查卡方分布表得到临界值：\[ \chi^2_{0.025}(15) \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) \approx 6.262 \]
步骤 4：判断是否拒绝原假设
统计量 $21.6$ 落在区间 $(6.262, 27.488)$ 内，不拒绝 $H_0$。
原假设 $H_0: \sigma^2 = 0.025$，即药品质量的方差符合标准。
备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 0.025$，即药品质量的方差不符合标准。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为卡方分布，计算公式为：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \]
其中，$n$ 为样本容量，$s^2$ 为样本方差，$\sigma_0^2$ 为假设的总体方差。
代入数据：\[ \chi^2 = \frac{(16-1) \times 0.036}{0.025} = \frac{15 \times 0.036}{0.025} = 21.6 \]
步骤 3：确定临界值
自由度 $df = n - 1 = 15$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，查卡方分布表得到临界值：\[ \chi^2_{0.025}(15) \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975}(15) \approx 6.262 \]
步骤 4：判断是否拒绝原假设
统计量 $21.6$ 落在区间 $(6.262, 27.488)$ 内，不拒绝 $H_0$。