设 X,Y 的方差存在，且不等于0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 是 X,Y 独立的必要条件，但不是充分条件。（ ）A. 对B. 错

本题考查方差的性质以及随机变量独立性的相关知识，解题的关键在于明确方差公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$ 以及随机变量独立与协方差之间的关系，通过分析充分性和必要性来判断命题的正确性。

1. 证明 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X,Y$ 独立的必要条件

• 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，根据协方差的性质可知，当两个随机变量相互独立时，它们的协方差 $Cov(X,Y) = 0$。
• 由方差的计算公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，将 $Cov(X,Y) = 0$ 代入该公式，可得 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2\times0=D(X)+D(Y)$。
• 这就说明当 $X$ 和 $Y$ 独立时，一定有 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X,Y$ 独立的必要条件。

2. 证明 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 不是 $X,Y$ 独立的充分条件

• 已知 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，由方差公式 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$ 可得：
  • $D(X)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$。
  • 等式两边同时减去 $D(X)+D(Y)$，得到 $2Cov(X,Y)=0$，即 $Cov(X,Y) = 0$。
• 虽然 $Cov(X,Y) = 0$ 只能说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不相关并不一定意味着 $X$ 和 $Y$ 相互独立。例如，设 $X$ 服从区间 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$，可以计算出 $Cov(X,Y) = 0$，但 $Y$ 的取值完全由 $X$ 决定，它们不是相互独立的。
• 这表明由 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 不能推出 $X$ 和 $Y$ 独立，所以 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 不是 $X,Y$ 独立的充分条件。

综上，$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X,Y$ 独立的必要条件，但不是充分条件，该命题正确。