题目
若随机变量 sim N(2,(sigma )^2) ,且 2lt Xlt 4 =0.3 ,则 Xlt 0 = __
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：标准化随机变量
由于 $X\sim N(2,{\sigma }^{2})$，我们首先将 $X$ 标准化，即令 $Z=\frac{X-2}{\sigma}$，则 $Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算 $P\{ 2\lt X\lt 4\}$
根据题目条件，$P\{ 2\lt X\lt 4\} =0.3$，即 $P\{ 0\lt Z\lt \frac{2}{\sigma}\} =0.3$。由于 $Z\sim N(0,1)$，我们可以通过标准正态分布表找到对应的 $\Phi(\frac{2}{\sigma})$ 值，使得 $\Phi(\frac{2}{\sigma}) - \Phi(0) = 0.3$。由于 $\Phi(0) = 0.5$，则 $\Phi(\frac{2}{\sigma}) = 0.8$。
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 0\}$
根据标准化后的变量 $Z$，$P\{ X\lt 0\} = P\{ Z\lt \frac{0-2}{\sigma}\} = P\{ Z\lt -\frac{2}{\sigma}\} = 1 - \Phi(\frac{2}{\sigma}) = 1 - 0.8 = 0.2$。
由于 $X\sim N(2,{\sigma }^{2})$，我们首先将 $X$ 标准化，即令 $Z=\frac{X-2}{\sigma}$，则 $Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算 $P\{ 2\lt X\lt 4\}$
根据题目条件，$P\{ 2\lt X\lt 4\} =0.3$，即 $P\{ 0\lt Z\lt \frac{2}{\sigma}\} =0.3$。由于 $Z\sim N(0,1)$，我们可以通过标准正态分布表找到对应的 $\Phi(\frac{2}{\sigma})$ 值，使得 $\Phi(\frac{2}{\sigma}) - \Phi(0) = 0.3$。由于 $\Phi(0) = 0.5$，则 $\Phi(\frac{2}{\sigma}) = 0.8$。
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 0\}$
根据标准化后的变量 $Z$，$P\{ X\lt 0\} = P\{ Z\lt \frac{0-2}{\sigma}\} = P\{ Z\lt -\frac{2}{\sigma}\} = 1 - \Phi(\frac{2}{\sigma}) = 1 - 0.8 = 0.2$。