15.单选题 {}x=3e^-ty=2e^t

本题考查参数方程求二阶导数的知识点。解题思路是先根据参数方程求导公式求出一阶导数$\frac{dy}{dx}$，再对一阶导数关于$x$求导得到二阶导数$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$。

步骤一：求$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$

已知$x = 3e^{-t}$，对$x$关于$t$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$可得：
$\frac{dx}{dt}=(3e^{-t})^\prime=3\times(-1)e^{-t}=-3e^{-t}$
已知$y = 2e^{t}$，对$y$关于$t$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$可得：
$\frac{dy}{dt}=(2e^{t})^\prime=2e^{t}$

步骤二：求一阶导数$\frac{dy}{dx}$

根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将$\frac{dx}{dt}=-3e^{-t}$和$\frac{dy}{dt}=2e^{t}$代入可得：
$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{t}}{-3e^{-t}}=-\frac{2}{3}e^{2t}$

步骤三：求二阶导数$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

根据二阶导数公式$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$，先对$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3}e^{2t}$关于$t$求导：
$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=(-\frac{2}{3}e^{2t})^\prime=-\frac{2}{3}\times2e^{2t}=-\frac{4}{3}e^{2t}$
再将$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=-\frac{4}{3}e^{2t}$和$\frac{dx}{dt}=-3e^{-t}$代入二阶导数公式可得：
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{-\frac{4}{3}e^{2t}}{-3e^{-t}}=\frac{4}{9}e^{3t}$