题目
根据以往的经验，某种电子元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920h的概率.
根据以往的经验，某种电子元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920h的概率.
题目解答
答案
电子元件的寿命X服从参数为λ的指数分布，则X的数学期望为
，则
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，则
，
，则
1920\right)=P\left(\frac{\sum_{i=1}^{16}X_i-1600}{400}>0.8\right)=1-Φ\left(0.8\right)" data-width="592" data-height="68" data-size="11675" data-format="png" style="max-width:100%">
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解析
步骤 1：确定指数分布的参数
指数分布的数学期望为$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，已知$E(X)=100$，则$\lambda=\frac{1}{100}=0.01$。
步骤 2：计算寿命总和的期望和方差
由于16只元件的寿命是相互独立的，寿命总和的期望为$E(\sum_{i=1}^{16}X_i)=16E(X)=16\times100=1600$，寿命总和的方差为$D(\sum_{i=1}^{16}X_i)=16D(X)=16\times\frac{1}{\lambda^2}=16\times10000=160000$。
步骤 3：计算寿命总和大于1920h的概率
寿命总和大于1920h的概率为$P(\sum_{i=1}^{16}X_i>1920)=P\left(\frac{\sum_{i=1}^{16}X_i-1600}{400}>0.8\right)=1-Φ(0.8)$，其中$Φ(0.8)$是标准正态分布的累积分布函数值，查表得$Φ(0.8)=0.7881$，则$P(\sum_{i=1}^{16}X_i>1920)=1-0.7881=0.2119$。
指数分布的数学期望为$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，已知$E(X)=100$，则$\lambda=\frac{1}{100}=0.01$。
步骤 2：计算寿命总和的期望和方差
由于16只元件的寿命是相互独立的，寿命总和的期望为$E(\sum_{i=1}^{16}X_i)=16E(X)=16\times100=1600$，寿命总和的方差为$D(\sum_{i=1}^{16}X_i)=16D(X)=16\times\frac{1}{\lambda^2}=16\times10000=160000$。
步骤 3：计算寿命总和大于1920h的概率
寿命总和大于1920h的概率为$P(\sum_{i=1}^{16}X_i>1920)=P\left(\frac{\sum_{i=1}^{16}X_i-1600}{400}>0.8\right)=1-Φ(0.8)$，其中$Φ(0.8)$是标准正态分布的累积分布函数值，查表得$Φ(0.8)=0.7881$，则$P(\sum_{i=1}^{16}X_i>1920)=1-0.7881=0.2119$。