题目
.用比UNDUNDUNDUNDUNDUNDUND下UNDUND数的UND数UNDUND。-|||-(2) sum _(n=1)^infty dfrac ({3)^n}(n{2)^n}
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义比值判别法
比值判别法是用于判断级数敛散性的一种方法。对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，如果存在极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\)，则：
- 如果 \(L < 1\)，级数收敛；
- 如果 \(L > 1\)，级数发散；
- 如果 \(L = 1\)，则比值判别法无法确定级数的敛散性。
步骤 2：应用比值判别法
对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n2^n\)，我们有 \(a_n = n2^n\)。我们需要计算 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)。
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2}{n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2 + \frac{2}{n} \right| = 2
\]
步骤 3：判断级数的敛散性
根据比值判别法，因为 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 2 > 1\)，所以级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n2^n\) 发散。
比值判别法是用于判断级数敛散性的一种方法。对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，如果存在极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\)，则：
- 如果 \(L < 1\)，级数收敛；
- 如果 \(L > 1\)，级数发散；
- 如果 \(L = 1\)，则比值判别法无法确定级数的敛散性。
步骤 2：应用比值判别法
对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n2^n\)，我们有 \(a_n = n2^n\)。我们需要计算 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)。
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)2}{n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2 + \frac{2}{n} \right| = 2
\]
步骤 3：判断级数的敛散性
根据比值判别法，因为 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 2 > 1\)，所以级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n2^n\) 发散。