题目
填空题（共5题，25.0分）16.（5.0分）某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，现随机抽查12袋，测得重量（单位：克）分别为：1001，1004，1003，1000，997，999，1004，1000，996，1002，998，999，若已知σ²=8，μ的置信度为95%的置信区间为（）（已知u₀.₀₂₅=1.96，u₀.₀₅=1.64）=_____.（保留两位小数）
填空题（共5题，25.0分）
16.（5.0分）
某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，现随机抽查12袋，测得重量（单位：克）分别为：1001，1004，
1003，1000，997，999，1004，1000，996，1002，998，999，
若已知σ²=8，μ的置信度为95%的置信区间为（）
（已知u₀.₀₂₅=1.96，u₀.₀₅=1.64）=_____.（保留两
位小数）
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\overline{x} = \frac{1}{12} \sum x_i = \frac{12003}{12} = 1000.25
\]
2. **确定置信区间公式**：
\[
\overline{x} \pm u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中，$u_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{8}$，$n = 12$。
3. **计算置信区间**：
\[
\overline{x} \pm 1.96 \times \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{12}} = 1000.25 \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 1000.25 \pm 1.599
\]
即 $(998.651, 1001.849)$，保留两位小数为 $(998.65, 1001.85)$。
**答案**：$\boxed{(998.65, 1001.85)}$
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算12袋洗衣粉的平均重量。样本均值的计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$是样本数量，$x_i$是第$i$个样本的重量。将题目中的数据代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{12} (1001 + 1004 + 1003 + 1000 + 997 + 999 + 1004 + 1000 + 996 + 1002 + 998 + 999) = \frac{12003}{12} = 1000.25 \]
步骤 2：确定置信区间公式
根据题目要求，需要计算μ的95%置信区间。由于已知总体方差σ²，可以使用正态分布的置信区间公式：
\[ \overline{x} \pm u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$u_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本数量。题目中给出$u_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{8}$，$n = 12$。
步骤 3：计算置信区间
将步骤1和步骤2中的值代入置信区间公式计算：
\[ \overline{x} \pm u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1000.25 \pm 1.96 \times \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{12}} \]
\[ = 1000.25 \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \]
\[ \approx 1000.25 \pm 1.599 \]
即 $(998.651, 1001.849)$，保留两位小数为 $(998.65, 1001.85)$。
根据题目给出的数据，计算12袋洗衣粉的平均重量。样本均值的计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$是样本数量，$x_i$是第$i$个样本的重量。将题目中的数据代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{12} (1001 + 1004 + 1003 + 1000 + 997 + 999 + 1004 + 1000 + 996 + 1002 + 998 + 999) = \frac{12003}{12} = 1000.25 \]
步骤 2：确定置信区间公式
根据题目要求，需要计算μ的95%置信区间。由于已知总体方差σ²，可以使用正态分布的置信区间公式：
\[ \overline{x} \pm u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$u_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本数量。题目中给出$u_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{8}$，$n = 12$。
步骤 3：计算置信区间
将步骤1和步骤2中的值代入置信区间公式计算：
\[ \overline{x} \pm u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1000.25 \pm 1.96 \times \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{12}} \]
\[ = 1000.25 \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \]
\[ \approx 1000.25 \pm 1.599 \]
即 $(998.651, 1001.849)$，保留两位小数为 $(998.65, 1001.85)$。