(4)设总体X~N(μ,1)，其中μ为未知参数，X_(1)，X_(2)，X_(3)为来自总体X的样本，下面4个关于μ的估计量中，最好的一个是（）.A. (1)/(5)X_(1)+(2)/(5)X_(2)+(2)/(5)X_(3)B. (1)/(4)X_(1)+(1)/(2)X_(2)+(1)/(4)X_(3)C. (1)/(6)X_(1)+(5)/(6)X_(2)D. (1)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2)+(1)/(3)X_(3)

本题考查的知识点是评价估计量好坏的标准，主要从无偏性和有效性两个方面来判断。无偏性是指估计量的数学期望等于被估计的参数，有效性是指在无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。

步骤一：判断各估计量的无偏性

设总体$X\sim N(\mu,1)$，$X_{1}$，$X_{2}$，$X_{3}$为来自总体$X$的样本，则$E(X_{i}) = \mu$，$i = 1,2,3$。

• 对于选项A：
  设$\hat{\mu}_{A}=\frac{1}{5}X_{1}+\frac{2}{5}X_{2}+\frac{2}{5}X_{3}$，根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得：
  $E(\hat{\mu}_{A}) = E(\frac{1}{5}X_{1}+\frac{2}{5}X_{2}+\frac{2}{5}X_{3})=\frac{1}{5}E(X_{1})+\frac{2}{5}E(X_{2})+\frac{2}{5}E(X_{3})$
  将$E(X_{i}) = \mu$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $E(\hat{\mu}_{A})=\frac{1}{5}\mu+\frac{2}{5}\mu+\frac{2}{5}\mu=\mu$
  所以$\hat{\mu}_{A}$是$\mu$的无偏估计量。
• 对于选项B：
  设$\hat{\mu}_{B}=\frac{1}{4}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3}$，同理可得：
  $E(\hat{\mu}_{B}) = E(\frac{1}{4}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3})=\frac{1}{4}E(X_{1})+\frac{1}{2}E(X_{2})+\frac{1}{4}E(X_{3})$
  将$E(X_{i}) = \mu$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $E(\hat{\mu}_{B})=\frac{1}{4}\mu+\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{4}\mu=\mu$
  所以$\hat{\mu}_{B}$是$\mu$的无偏估计量。
• 对于选项C：
  设$\hat{\mu}_{C}=\frac{1}{6}X_{1}+\frac{5}{6}X_{2}$，同理可得：
  $E(\hat{\mu}_{C}) = E(\frac{1}{6}X_{1}+\frac{5}{6}X_{2})=\frac{1}{6}E(X_{1})+\frac{5}{6}E(X_{2})$
  将$E(X_{i}) = \mu$，$i = 1,2$代入上式得：
  $E(\hat{\mu}_{C})=\frac{1}{6}\mu+\frac{5}{6}\mu=\mu$
  所以$\hat{\mu}_{C}$是$\mu$的无偏估计量。
• 对于选项D：
  设$\hat{\mu}_{D}=\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3}$，同理可得：
  $E(\hat{\mu}_{D}) = E(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3})=\frac{1}{3}E(X_{1})+\frac{1}{3}E(X_{2})+\frac{1}{3}E(X_{3})$
  将$E(X_{i}) = \mu$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $E(\hat{\mu}_{D})=\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu=\mu$
  所以$\hat{\mu}_{D}$是$\mu$的无偏估计量。

步骤二：判断各无偏估计量的有效性

已知$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,3$，且$X_{1}$，$X_{2}$，$X_{3}$相互独立，根据方差的性质$D(aX + bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)$（$X$，$Y$相互独立）。

• 对于选项A：
  $D(\hat{\mu}_{A}) = D(\frac{1}{5}X_{1}+\frac{2}{5}X_{2}+\frac{2}{5}X_{3})=\frac{1}{25}D(X_{1})+\frac{4}{25}D(X_{2})+\frac{4}{25}D(X_{3})$
  将$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $D(\hat{\mu}_{A})=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}=0.36$
• 对于选项B：
  $D(\hat{\mu}_{B}) = D(\frac{1}{4}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3})=\frac{1}{16}D(X_{1})+\frac{1}{4}D(X_{2})+\frac{1}{16}D(X_{3})$
  将$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $D(\hat{\mu}_{B})=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{1 + 4 + 1}{16}=\frac{6}{16}=0.375$
• 对于选项C：
  $D(\hat{\mu}_{C}) = D(\frac{1}{6}X_{1}+\frac{5}{6}X_{2})=\frac{1}{36}D(X_{1})+\frac{25}{36}D(X_{2})$
  将$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2$代入上式得：
  $D(\hat{\mu}_{C})=\frac{1}{36}+\frac{25}{36}=\frac{26}{36}\approx0.722$
• 对于选项D：
  $D(\hat{\mu}_{D}) = D(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3})=\frac{1}{9}D(X_{1})+\frac{1}{9}D(X_{2})+\frac{1}{9}D(X_{3})$
  将$D(X_{i}) = 1$，$i = 1,2,3$代入上式得：
  $D(\hat{\mu}_{D})=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx0.333$

比较$D(\hat{\mu}_{A})$，$D(\hat{\mu}_{B})$，$D(\hat{\mu}_{C})$，$D(\hat{\mu}_{D})$的大小：$0.333<0.36<0.375<0.722$，即$D(\hat{\mu}_{D})$最小。

所以在这四个无偏估计量中，$\hat{\mu}_{D}$的方差最小，是最有效的估计量，也就是最好的估计量。