某地200例正常成人血铅含量的频数分布如下表。(1)简述该资料的分布特征。(2)若资料近似呈对数正态分布,试分别用百分位数法和正态分布法估计该地正常成人血铅值的95%参考值范围。表 某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布血铅含量 频 数 累积频数0.00~ 7 70.24~ 49 560.48~ 45 1010.72~ 32 1330.96~ 28 1611.20~ 13 1741.44~ 14 1881.68~ 4 1921.92~ 4 1962.16~ 1 1972.40~ 2 1992.64~ 1 200
某地200例正常成人血铅含量的频数分布如下表。
(1)简述该资料的分布特征。
(2)若资料近似呈对数正态分布,试分别用百分位数法和正态分布法估计该地正常成人血铅值的95%参考值范围。
表 某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布
血铅含量 频 数 累积频数
0.00~ 7 7
0.24~ 49 56
0.48~ 45 101
0.72~ 32 133
0.96~ 28 161
1.20~ 13 174
1.44~ 14 188
1.68~ 4 192
1.92~ 4 196
2.16~ 1 197
2.40~ 2 199
2.64~ 1 200
题目解答
答案
[参考答案]
(1)从表可以看出,血铅含量较低组段的频数明显高于较高组段,分布不对称。同正态分布相比,其分布高峰向血铅含量较低方向偏移,长尾向血铅含量较高组段延伸,数据为正偏态分布。
某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布
血铅含量 组中值 频 数 累积频数 累积频率
0.00~ 0.12 7 7 3.5
0.24~ 0.36 49 56 28.0
0.48~ 0.60 45 101 50.5
0.72~ 0.84 32 133 66.5
0.96~ 1.08 28 161 80.5
1.20~ 1.32 13 174 87.0
1.44~ 1.56 14 188 94.0
1.68~ 1.80 4 192 96.0
1.92~ 2.04 4 196 98.0
2.16~ 2.28 1 197 98.5
2.40~ 2.52 2 199 99.5
2.64~ 2.76 1 200 100
(2)因为正常人血铅含量越低越好,所以应计算单侧95%参考值范围。
百分位数法:第95%百分位数位于1.68~组段,组距为0.24,频数为4,该组段以前的累积频数为188,故
即该地正常成人血铅值的95%参考值范围为小于1.80 。
正态分布法:将组中值进行log变换,根据题中表格,得到均值和标准差计算表。
某地200例正常成人血铅含量( )均值和标准差计算表
血铅含量 组中值 ( )
频 数( )
0.00~ 0.12 -0.92 7 -6.44 5.9248
0.24~ 0.36 -0.44 49 -21.56 9.4864
0.48~ 0.60 -0.22 45 -9.9 2.178
0.72~ 0.84 -0.08 32 -2.56 0.2048
0.96~ 1.08 0.03 28 0.84 0.0252
1.20~ 1.32 0.12 13 1.56 0.1872
1.44~ 1.56 0.19 14 2.66 0.5054
1.68~ 1.80 0.26 4 1.04 0.2704
1.92~ 2.04 0.31 4 1.24 0.3844
2.16~ 2.28 0.36 1 0.36 0.1296
2.40~ 2.52 0.40 2 0.80 0.3200
2.64~ 2.76 0.44 1 0.44 0.1936
合计 — — 200 -31.52 19.8098
计算均值和标准差:
单侧95%参考值范围:
即该地正常成人血铅值的95%参考值范围为小于1.96 ,与百分位数法相比两者相差不大。
(李 康)
解析
考查要点：
- 分布特征分析：通过频数分布表判断数据分布类型（如正偏态、对称性等）。
- 参考值范围计算：掌握百分位数法和正态分布法的适用条件及计算步骤，理解单侧参考值范围的应用场景。
解题核心思路：
- 分布特征：观察频数分布表中频数随变量值变化的趋势，结合累积频率判断偏态方向。
- 参考值范围：
- 百分位数法：通过累积频数定位第95%位数所在组段，插值计算具体值。
- 正态分布法：对对数正态分布数据取对数后，按正态分布计算单侧参考值范围。
破题关键点：
- 正偏态识别：频数从低值组段向高值组段递减，长尾向右延伸。
- 单侧范围选择：血铅值越低越正常，只需确定上限。
第（1）题
分布特征分析：
- 频数趋势：低值组段（如0.00~0.24）频数高，随变量值增大频数逐渐减少。
- 累积频率：累积频率达到50%时对应较低的血铅值（0.60 μmol/L），说明数据集中在低值区域。
- 偏态判断：频数分布不对称，高峰在左侧，长尾向右侧延伸，为正偏态分布。
第（2）题
百分位数法
- 确定第95%位数位置：
$n \times 95\% = 200 \times 0.95 = 190$
累积频数为188的组段（1.44~1.56 μmol/L）对应第188例，第190例位于下一组段（1.68~1.80 μmol/L）。 - 插值计算：
$P_{95} = 1.68 + \frac{190 - 188}{4} \times 0.24 = 1.80 \, \mu\text{mol/L}$
正态分布法
- 对数转换：对组中值取自然对数，计算均值 $\bar{x}$ 和标准差 $s$。
- 计算参考值范围：
$\text{上限} = e^{\bar{x} + 1.645s}$
根据计算表，$\bar{x} = -0.1561$，$s = 0.2687$，代入得：
$\text{上限} = e^{-0.1561 + 1.645 \times 0.2687} \approx 1.96 \, \mu\text{mol/L}$