5.设x1,x2,···,xn是来自下列总体的简单样本,-|||-(x,theta )= leqslant xleqslant theta +dfrac {1)(2) 0,其中,) 都是θ的无偏估计,问何者更有效?

步骤 1：确定总体分布
给定的总体分布为均匀分布，其概率密度函数为：
$$
p(x,\theta) = \begin{cases}
1, & \theta - \frac{1}{2} \leq x \leq \theta + \frac{1}{2} \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
其中，$-\infty < \theta < \infty$。

步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $x_i$ 是来自总体的简单样本。
由于总体分布是均匀分布，其期望值为：
$$
E(x) = \theta
$$
因此，样本均值的期望值为：
$$
E(\bar{x}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(x_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \theta = \theta
$$
所以，样本均值 $\bar{x}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。

步骤 3：计算 $\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 的期望
$x_{(1)}$ 和 $x_{(n)}$ 分别是样本中的最小值和最大值。
由于总体分布是均匀分布，其最小值和最大值的期望值分别为：
$$
E(x_{(1)}) = \theta - \frac{1}{2}, \quad E(x_{(n)}) = \theta + \frac{1}{2}
$$
因此，$\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 的期望值为：
$$
E\left(\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})\right) = \frac{1}{2} \left(E(x_{(1)}) + E(x_{(n)})\right) = \frac{1}{2} \left(\theta - \frac{1}{2} + \theta + \frac{1}{2}\right) = \theta
$$
所以，$\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 也是 $\theta$ 的无偏估计。

步骤 4：比较两个估计量的方差
样本均值 $\bar{x}$ 的方差为：
$$
\text{Var}(\bar{x}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(x_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{12n}
$$
其中，$\text{Var}(x_i) = \frac{1}{12}$ 是均匀分布的方差。
$\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 的方差为：
$$
\text{Var}\left(\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})\right) = \frac{1}{4} \left(\text{Var}(x_{(1)}) + \text{Var}(x_{(n)}) + 2 \text{Cov}(x_{(1)}, x_{(n)})\right)
$$
其中，$\text{Var}(x_{(1)}) = \text{Var}(x_{(n)}) = \frac{1}{12n}$，$\text{Cov}(x_{(1)}, x_{(n)}) = -\frac{1}{12n}$。
因此，$\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 的方差为：
$$
\text{Var}\left(\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{12n} + \frac{1}{12n} - \frac{2}{12n}\right) = \frac{1}{24n}
$$
由于 $\frac{1}{24n} < \frac{1}{12n}$，所以 $\frac{1}{2}(x_{(1)} + x_{(n)})$ 的方差更小，因此更有效。