设(X_(1),Y_(1)),(X_(2),Y_(2)),...,(X_(n),Y_(n))为来自总体N(mu_(1),mu_(2);sigma_(1)^2,sigma_(2)^2,rho)的简单随机样本，令theta=mu_(1)-mu_(2)，bar(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，bar(Y)=(1)/(n)sum_(i=1)^nY_(i)，hat(theta)=bar(X)-bar(Y)，则（ ）.A. E(hat(theta))=theta，D(hat(theta))=(sigma_(1)^2+sigma_(2)^2)/(n)B. E(hat(theta))=theta，D(hat(theta))=(sigma_(1)^2+sigma_(2)^2-2rhosigma_(1)sigma_(2))/(n)C. E(hat(theta))neqtheta，D(hat(theta))=(sigma_(1)^2+sigma_(2)^2)/(n)D. E(hat(theta))neqtheta，D(hat(theta))=(sigma_(1)^2+sigma_(2)^2-2rhosigma_(1)sigma_(2))/(n)
设$(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\cdots,(X_{n},Y_{n})$为来自总体$N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$的简单随机样本，令$\theta=\mu_{1}-\mu_{2}$，$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i}$，$\hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}$，则（ ）. A. $E(\hat{\theta})=\theta$，$D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ B. $E(\hat{\theta})=\theta$，$D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}{n}$ C. $E(\hat{\theta})\neq\theta$，$D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{n}$ D. $E(\hat{\theta})\neq\theta$，$D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}{n}$
题目解答
答案
我们来分析这道题，题目给出的是一个来自二维正态分布的简单随机样本，要求我们判断关于估计量 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$ 的期望和方差的正确选项。
题目信息整理
- 总体：$(X_i, Y_i) \sim N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，即二维正态分布，均值为 $(\mu_1, \mu_2)$，方差为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$，相关系数为 $\rho$。
- 样本：$(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \cdots, (X_n, Y_n)$ 是来自上述总体的简单随机样本。
- 定义：
- $\theta = \mu_1 - \mu_2$
- $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
- $\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$
- $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$
第一步：求期望 $E(\hat{\theta})$
我们有：
$E(\hat{\theta}) = E(\bar{X} - \bar{Y}) = E(\bar{X}) - E(\bar{Y})$
由于 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别是 $X_i$ 和 $Y_i$ 的样本均值，所以：
$E(\bar{X}) = \mu_1,\quad E(\bar{Y}) = \mu_2$
因此：
$E(\hat{\theta}) = \mu_1 - \mu_2 = \theta$
✅ 所以，期望是无偏的，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
第二步：求方差 $D(\hat{\theta})$
我们有：
$D(\hat{\theta}) = D(\bar{X} - \bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) - 2\mathrm{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$
1. 求 $D(\bar{X})$ 和 $D(\bar{Y})$
因为 $\bar{X}$ 是 $n$ 个独立同分布的 $X_i$ 的平均值，所以：
$D(\bar{X}) = \frac{\sigma_1^2}{n},\quad D(\bar{Y}) = \frac{\sigma_2^2}{n}$
2. 求 $\mathrm{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$
因为 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 是样本均值，所以：
$\mathrm{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \mathrm{Cov}(X_i, Y_j)$
由于样本是独立的，所以 $i \ne j$ 时 $\mathrm{Cov}(X_i, Y_j) = 0$，只有 $i = j$ 时才有非零协方差，即：
$\mathrm{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \mathrm{Cov}(X_1, Y_1) = \frac{1}{n} \cdot \mathrm{Cov}(X_1, Y_1)$
而二维正态分布中，$\mathrm{Cov}(X_1, Y_1) = \rho \sigma_1 \sigma_2$，所以：
$\mathrm{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \frac{1}{n} \rho \sigma_1 \sigma_2$
3. 代入方差公式
$D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n} - 2 \cdot \frac{1}{n} \rho \sigma_1 \sigma_2 = \frac{1}{n} (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2)$
结论
- $E(\hat{\theta}) = \theta$
- $D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$
正确选项是：
$\boxed{\text{B}}$