题目

设随机变量x与y相互独立，且都服从正态分布N(mu,sigma^2)，则P(|X-Y|<1)（）A 与μ无关，与σ²有关B 与μ有关，与σ²有关C 与μ无关，与σ²无关D 与μ有关，与σ²无关

设随机变量x与y相互独立，且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则P{|X-Y|<1}（） A 与μ无关，与σ²有关 B 与μ有关，与σ²有关 C 与μ无关，与σ²无关 D 与μ有关，与σ²无关

题目解答

答案

根据题目给出的条件，我们可以进行如下推理：

  1. 确定随机变量 $X-Y$ 的分布：
    已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。
    根据正态分布的性质，两个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
    对于 $X-Y$：

    • 其期望为：$E(X - Y) = E(X) - E(Y) = \mu - \mu = 0$
    • 其方差为（因为 $X$ 和 $Y$ 相互独立）：$D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)^2 D(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$
      因此，随机变量 $X-Y$ 服从正态分布 $N(0, 2\sigma^2)$。

  2. 计算概率 $P\{|X-Y| < 1\}$：
    我们需要求的概率是 $P\{|X-Y| < 1\}$，这等价于 $P\{-1 < X-Y < 1\}$。
    为了计算这个概率，我们将 $X-Y$ 标准化。令 $Z = \frac{(X-Y) - E(X-Y)}{\sqrt{D(X-Y)}} = \frac{X-Y}{\sqrt{2\sigma^2}} = \frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma}$。
    此时，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
    将不等式 $-1 < X-Y < 1$ 转化为关于 $Z$ 的不等式：
    $P\{-1 < X-Y < 1\} = P\left\{ \frac{-1}{\sqrt{2}\sigma} < \frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma} < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\} = P\left\{ -\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < Z < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\}$

  3. 分析结果与参数的关系：
    设 $\Phi(z)$ 为标准正态分布的累积分布函数，则上述概率可以表示为：
    $P\left\{ -\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < Z < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\} = \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)$
    利用标准正态分布的对称性 $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$，上式可化简为：
    $2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1$
    观察最终的表达式，其中包含参数 $\sigma$（即与 $\sigma^2$ 有关），但不包含参数 $\mu$。

结论：
概率 $P\{|X-Y| < 1\}$ 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关。

对应选项，正确答案是 A。