题目

1.[填空题](答案保留两位小数，填写格式为(65.34,76.45))设炮弹飞离炮口的速度服从于正态分布N(μ，σ²)，随机测了9次，算得样本方差S²=11(米/秒²)，求总体方差σ²的90%的置信区间.(注：χ²₀₁(8)=13.362，χ²₀₂(9)=16.919，χ²₀₁₈(8)=15.507，χ²₀₉伍(8)=2.733).

1.[填空题] (答案保留两位小数，填写格式为 (65.34,76.45)) 设炮弹飞离炮口的速度服从于正态分布N(μ，σ²)，随机测了9次，算得样本方差S²=11(米 /秒²)，求总体方差σ²的90%的置信区间. (注：χ²₀₁(8)=13.362，χ²₀₂(9)=16.919，χ²₀₁₈(8)=15.507，χ²₀₉伍(8)=2.733).

题目解答

答案

为了求出总体方差 $\sigma^2$ 的90%的置信区间，我们使用基于卡方分布的方差置信区间公式。对于一个样本大小为 $n$ 的样本，样本方差为 $S^2$，总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间由下式给出： \[ \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right) \] 其中 $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ 分别是自由度为 $n-1$ 的卡方分布的 $\alpha/2$ 和 $1-\alpha/2$ 分位数。对于90%的置信区间，$\alpha = 0.10$，所以 $\alpha/2 = 0.05$ 和 $1-\alpha/2 = 0.95$。 已知： - 样本大小 $n = 9$ - 样本方差 $S^2 = 11$ - 自由度 $n-1 = 8$ - $\chi^2_{0.05, 8} = 15.507$ - $\chi^2_{0.95, 8} = 2.733$ 将这些值代入公式，我们得到： \[ \left( \frac{8 \cdot 11}{15.507}, \frac{8 \cdot 11}{2.733} \right) \] 首先，计算下限： \[ \frac{8 \cdot 11}{15.507} = \frac{88}{15.507} \approx 5.675 \] 接下来，计算上限： \[ \frac{8 \cdot 11}{2.733} = \frac{88}{2.733} \approx 32.199 \] 将这些值四舍五入到两位小数，置信区间为： \[ (5.68, 32.20) \] 因此，总体方差 $\sigma^2$ 的90%的置信区间是 $\boxed{(5.68, 32.20)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布总体方差的置信区间的计算，需要掌握基于卡方分布的置信区间公式，并正确识别题目中给出的卡方分位数。

解题核心思路：

  1. 确定置信水平与分位数：90%的置信水平对应$\alpha=0.10$，需找到自由度为$n-1=8$的卡方分布的$\chi^2_{0.05,8}$和$\chi^2_{0.95,8}$分位数。
  2. 代入公式计算区间：利用公式$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)$，代入已知数据即可求解。

破题关键点：

  • 正确匹配分位数：题目中给出的$\chi^2_{0.05,8}=15.507$和$\chi^2_{0.95,8}=2.733$需准确对应上下限的分母位置。
  • 计算精度：注意结果保留两位小数。

步骤1：确定参数与分位数

  • 样本量$n=9$，自由度$n-1=8$。
  • 置信水平$1-\alpha=90\%$，故$\alpha=0.10$，$\alpha/2=0.05$。
  • 查分位数：$\chi^2_{0.05,8}=15.507$（下限分母），$\chi^2_{0.95,8}=2.733$（上限分母）。

步骤2：代入置信区间公式
$\text{下限} = \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.05,8}} = \frac{8 \times 11}{15.507} \approx 5.68$
$\text{上限} = \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.95,8}} = \frac{8 \times 11}{2.733} \approx 32.20$

步骤3：结果保留两位小数
最终置信区间为$(5.68, 32.20)$。