函数f(t)=cos8t的傅里叶变换为A. [delta(w-8)+delta(w+8)]B. -pi[delta(w-8)+delta(w+8)]C. pi[delta(w-8)+delta(w+8)]D. pi[delta(w-8)-delta(w+8)]

本题考查函数的傅里叶变换相关知识。解题思路是利用傅里叶变换的定义和性质，结合冲激函数的相关特性来求解函数$f(t)=\cos8t$的傅里叶变换。

步骤一：明确傅里叶变换的定义

函数$f(t)$的傅里叶变换$F(\omega)$定义为$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$。

步骤二：将$\cos8t$进行展开

根据欧拉公式$\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}$，可得$\cos8t = \frac{e^{j8t}+e^{-j8t}}{2}$。

步骤三：计算$f(t)=\cos8t$的傅里叶变换

将$\cos8t = \frac{e^{j8t}+e^{-j8t}}{2}$代入傅里叶变换的定义式中，可得：
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\cos8t e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j8t}+e^{-j8t}}{2}e^{-j\omega t}dt$
$=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j8t}e^{-j\omega t}+e^{-j8t}e^{-j\omega t})dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j(\omega - 8)t}+e^{-j(\omega + 8)t})dt$
$=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j(\omega - 8)t}dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j(\omega + 8)t}dt\right)$

步骤四：利用冲激函数的傅里叶变换性质

根据冲激函数的傅里叶变换性质$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega_0 t}dt = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$，可得：
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j(\omega - 8)t}dt = 2\pi\delta(\omega - 8)$
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j(\omega + 8)t}dt = 2\pi\delta(\omega + 8)$

步骤五：将上述结果代入$F(\omega)$的表达式中

$F(\omega)=\frac{1}{2}(2\pi\delta(\omega - 8)+2\pi\delta(\omega + 8))=\pi[\delta(\omega - 8)+\delta(\omega + 8)]$