1、单选 下面结论正确的是 ( )A. 设 lim_(n to infty) x_n = 0, lim_(n to infty) y_n = infty, 则 lim_(n to infty) (x_n cdot y_n) 一定不存在B. 设 lim_(n to infty) x_n = infty, lim_(n to infty) y_n = infty, 则 lim_(n to infty) (x_n cdot y_n) = 0C. 设 lim_(n to infty) x_n = 1, lim_(n to infty) y_n = infty, 则 lim_(n to infty) (x_n)/(y_n) = 0D. 设 lim_(n to infty) x_n = infty, lim_(n to infty) y_n = infty, 则 lim_(n to infty) (x_n - y_n) = 0

本题主要考查数列极限的运算法则以及不同极限情况（如极限为常数、无穷大等）下数列运算结果的极限性质。解题思路是根据数列极限的相关定理和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，这是$0\times\infty$型的极限。
我们可以通过举反例来判断该选项的正确性。
设$x_n=\frac{1}{n}$，$y_n = n$，此时$\lim_{n \to \infty} x_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$，$\lim_{n \to \infty} y_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty$。
而$x_n\cdot y_n=\frac{1}{n}\times n = 1$，那么$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n)=\lim_{n \to \infty}1 = 1$，极限是存在的。
所以选项A错误。

选项B

已知$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，根据极限运算法则，当两个数列的极限都为无穷大时，它们的乘积的极限也为无穷大。
即$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \infty$，而不是$0$。
所以选项B错误。

选项C

已知$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，这是$\frac{常数}{\infty}$型的极限。
根据极限运算法则，当分子为非零常数，分母趋于无穷大时，整个分式的极限为$0$。
所以$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = 0$，选项C正确。

选项D

已知$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，这是$\infty - \infty$型的极限。
同样通过举反例来判断，设$x_n = n$，$y_n = n$，此时$\lim_{n \to \infty} x_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty$，$\lim_{n \to \infty} y_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty$。
而$x_n - y_n = n - n = 0$，$\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n)=\lim_{n \to \infty}0 = 0$；
再设$x_n = n + 1$，$y_n = n$，$\lim_{n \to \infty} x_n=\lim_{n \to \infty}(n + 1)=\infty$，$\lim_{n \to \infty} y_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty$，但$x_n - y_n = n + 1 - n = 1$，$\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n)=\lim_{n \to \infty}1 = 1$。
这说明$\infty - \infty$型的极限结果是不确定的，不一定为$0$。
所以选项D错误。