题目
3.填空题{}y'=x/y^2y(1)=2.(h=0.2)用欧拉公式求y_(1)=(第1空);用欧拉公式求y_(2)=(第2空)。填空结果均保留2位小数。
3.填空题
$\left\{\begin{matrix}y'=x/y^{2}\\y(1)=2\end{matrix}\right.(h=0.2)$
用欧拉公式求$y_{1}=$(第1空);
用欧拉公式求$y_{2}=$(第2空)。
填空结果均保留2位小数。
题目解答
答案
为了解决给定的初值问题 $ \left\{\begin{matrix}y'=x/y^{2}\\y(1)=2\end{matrix}\right. $ 使用欧拉公式，其中步长 $ h = 0.2 $，我们将按照以下步骤进行：
1. 确定初始条件和函数 $ f(x, y) $。
2. 使用欧拉公式找到 $ y_1 $。
3. 使用欧拉公式找到 $ y_2 $。
### 第1步：确定初始条件和函数 $ f(x, y) $
初始条件是 $ y(1) = 2 $。函数 $ f(x, y) $ 由微分方程的右边给出：
\[ f(x, y) = \frac{x}{y^2} \]
### 第2步：使用欧拉公式找到 $ y_1 $
欧拉公式是：
\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \]
对于 $ y_1 $，我们有 $ x_0 = 1 $ 和 $ y_0 = 2 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_1 = x_0 + h = 1 + 0.2 = 1.2 $。使用欧拉公式，我们得到：
\[ y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{2^2} = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{4} = 2 + 0.05 = 2.05 \]
因此，$ y_1 $ 的值是 $ 2.05 $。
### 第3步：使用欧拉公式找到 $ y_2 $
对于 $ y_2 $，我们有 $ x_1 = 1.2 $ 和 $ y_1 = 2.05 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_2 = x_1 + h = 1.2 + 0.2 = 1.4 $。使用欧拉公式，我们得到：
\[ y_2 = y_1 + h f(x_1, y_1) = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{2.05^2} = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{4.2025} = 2.05 + 0.2 \cdot 0.285549 = 2.05 + 0.05711 = 2.11 \]
因此，$ y_2 $ 的值是 $ 2.11 $。
最终答案是：
\[ \boxed{2.05} \]
\[ \boxed{2.11} \]
解析
步骤 1：确定初始条件和函数 $ f(x, y) $
初始条件是 $ y(1) = 2 $。函数 $ f(x, y) $ 由微分方程的右边给出： \[ f(x, y) = \frac{x}{y^2} \]
步骤 2：使用欧拉公式找到 $ y_1 $
欧拉公式是： \[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \] 对于 $ y_1 $，我们有 $ x_0 = 1 $ 和 $ y_0 = 2 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_1 = x_0 + h = 1 + 0.2 = 1.2 $。使用欧拉公式，我们得到： \[ y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{2^2} = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{4} = 2 + 0.05 = 2.05 \]
步骤 3：使用欧拉公式找到 $ y_2 $
对于 $ y_2 $，我们有 $ x_1 = 1.2 $ 和 $ y_1 = 2.05 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_2 = x_1 + h = 1.2 + 0.2 = 1.4 $。使用欧拉公式，我们得到： \[ y_2 = y_1 + h f(x_1, y_1) = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{2.05^2} = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{4.2025} = 2.05 + 0.2 \cdot 0.285549 = 2.05 + 0.05711 = 2.11 \]
初始条件是 $ y(1) = 2 $。函数 $ f(x, y) $ 由微分方程的右边给出： \[ f(x, y) = \frac{x}{y^2} \]
步骤 2：使用欧拉公式找到 $ y_1 $
欧拉公式是： \[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \] 对于 $ y_1 $，我们有 $ x_0 = 1 $ 和 $ y_0 = 2 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_1 = x_0 + h = 1 + 0.2 = 1.2 $。使用欧拉公式，我们得到： \[ y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{2^2} = 2 + 0.2 \cdot \frac{1}{4} = 2 + 0.05 = 2.05 \]
步骤 3：使用欧拉公式找到 $ y_2 $
对于 $ y_2 $，我们有 $ x_1 = 1.2 $ 和 $ y_1 = 2.05 $。步长 $ h = 0.2 $，所以 $ x_2 = x_1 + h = 1.2 + 0.2 = 1.4 $。使用欧拉公式，我们得到： \[ y_2 = y_1 + h f(x_1, y_1) = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{2.05^2} = 2.05 + 0.2 \cdot \frac{1.2}{4.2025} = 2.05 + 0.2 \cdot 0.285549 = 2.05 + 0.05711 = 2.11 \]