7 设随机变量 X～N（μ，σ2）（σ＞0），记 p＝P(X≤μ＋σ2)，则（）。[数一 2017 研]A. p 随着 μ 的增加而增加B. p 随着 σ 的增加而增加C. p 随着 μ 的增加而减少D. p 随着 σ 的增加而减少

本题考查正态分布的概率计算及参数对概率的影响。关键在于理解正态分布参数$\mu$（均值）和$\sigma$（标准差）的变化如何影响事件$\{X \leq \mu + \sigma^2\}$的概率$p$。通过标准化变换将原问题转化为标准正态分布问题，进而分析参数的影响。

1. 标准化变换
   将$X \sim N(\mu, \sigma^2)$标准化为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，则：
   $p = P\{X \leq \mu + \sigma^2\} = P\left\{Z \leq \frac{\mu + \sigma^2 - \mu}{\sigma}\right\} = P\{Z \leq \sigma\} = \Phi(\sigma)$
   其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的分布函数。

2. 分析参数影响

   • $\mu$的变化：标准化后表达式中$\mu$被抵消，因此$p$与$\mu$无关，选项A、C错误。
   • $\sigma$的变化：$\Phi(\sigma)$是$\sigma$的单调递增函数，$\sigma$越大，$\Phi(\sigma)$越大，因此$p$随$\sigma$增加而增加，选项B正确，D错误。