1.求下列函数的极值:-|||-(5) =dfrac (1+3x)(sqrt {4+5{x)^2}} ;

本题考查函数极值的求解，解题思路是先对函数求导，然后令导数为零，求出驻点，再通过判断驻点两侧导数的正负来确定函数的单调性，进而确定函数的极值。

1. 求函数$y = \dfrac{1 + 3x}{\sqrt{4 + 5x^{2}}}$的导数：
   根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = 1 + 3x$，$v = \sqrt{4 + 5x^{2}}$。

   • 先求$u^\prime$：
     $u^\prime=(1 + 3x)^\prime = 3$。
   • 再求$v^\prime$：
     根据复合函数求导法则，令$t = 4 + 5x^{2}$，则$v = \sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$。
     $v^\prime=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot t^\prime=\frac{1}{2}(4 + 5x^{2})^{-\frac{1}{2}}\cdot(10x)=\frac{5x}{\sqrt{4 + 5x^{2}}}$。
   • 则$y^\prime$为：
     $\begin{align*}y^\prime&=\frac{3\sqrt{4 + 5x^{2}}-(1 + 3x)\frac{5x}{\sqrt{4 + 5x^{2}}}}{4 + 5x^{2}}\\&=\frac{3(4 + 5x^{2})-(1 + 3x)\cdot5x}{(4 + 5x^{2})^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{12 + 15x^{2}-5x - 15x^{2}}{(4 + 5x^{2})^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{12 - 5x}{(4 + 5x^{2})^{\frac{3}{2}}}\end{align*}$

2. 令$y^\prime = 0$，求驻点：
   $\frac{12 - 5x}{(4 + 5x^{2})^{\frac{3}{2}}}=0$，因为分母$(4 + 5x^{2})^{\frac{3}{2}}>0$恒成立，所以只需$12 - 5x = 0$，解得$x = \dfrac{12}{5}$。

3. 判断函数的单调性：

   • 当$-\infty < x < \dfrac{12}{5}$时，$12 - 5x>0$，所以$y^\prime>0$，函数$y$在$(-\infty, \dfrac{12}{5})$上单调递增。
   • 当$\dfrac{12}{5} < x < +\infty$时，$12 - 5x<0$，所以$y^\prime<0$，函数$y$在$(\dfrac{12}{5}, +\infty)$上单调递减。

4. 求函数的极值：
   将$x = \dfrac{12}{5}$代入原函数$y = \dfrac{1 + 3x}{\sqrt{4 + 5x^{2}}}$得：
   $\begin{align*}y(\dfrac{12}{5})&=\dfrac{1 + 3\times\frac{12}{5}}{\sqrt{4 + 5\times(\frac{12}{5})^{2}}}\\&=\dfrac{1+\frac{36}{5}}{\sqrt{4 + 5\times\frac{144}{25}}}\\&=\dfrac{\frac{41}{5}}{\sqrt{4+\frac{720}{25}}}\\&=\dfrac{\frac{41}{5}}{\sqrt{\frac{100 + 720}{25}}}\\&=\dfrac{\frac{41}{5}}{\sqrt{\frac{820}{25}}}\\&=\dfrac{\frac{41}{5}}{\frac{\sqrt{820}}{5}}\\&=\dfrac{41}{\sqrt{820}}\\&=\dfrac{41}{\sqrt{4\times205}}\\&=\dfrac{41}{2\sqrt{205}}\\&=\dfrac{\sqrt{205}}{10}\end{align*}$
   因为函数在$x = \dfrac{12}{5}$左侧单调递增，右侧单调递减，所以$y(\dfrac{12}{5})=\dfrac{\sqrt{205}}{10}$为极大值。