题目
(5)下列不等式成立的是 () .-|||-(A) (int )_(1)^2(x)^2dxgt (int )_(1)^2(x)^3dx. (B) (int )_(1)^2ln xdxlt (int )_(1)^2((ln x))^2dx.-|||-(C) (int )_(0)^1(x)^2dxgt (int )_(0)^1(x)^3dx. (D) (int )_(0)^1(e)^xdxlt (int )_(0)^1(1+x)dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：比较 ${\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx$ 和 ${\int }_{1}^{2}{x}^{3}dx$
在区间 $[1,2]$ 上，${x}^{2}<{x}^{3}$，因此 ${\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx<{\int }_{1}^{2}{x}^{3}dx$，选项A不成立。
步骤 2：比较 ${\int }_{1}^{2}\ln xdx$ 和 ${\int }_{1}^{2}{(\ln x)}^{2}dx$
在区间 $[1,2]$ 上，$\ln x<{(\ln x)}^{2}$，因此 ${\int }_{1}^{2}\ln xdx<{\int }_{1}^{2}{(\ln x)}^{2}dx$，选项B不成立。
步骤 3：比较 ${\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx$ 和 ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx$
在区间 $[0,1]$ 上，${x}^{2}>{x}^{3}$，因此 ${\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx>{\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx$，选项C成立。
步骤 4：比较 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$ 和 ${\int }_{0}^{1}(1+x)dx$
在区间 $[0,1]$ 上，${e}^{x}>(1+x)$，因此 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx>{\int }_{0}^{1}(1+x)dx$，选项D不成立。
在区间 $[1,2]$ 上，${x}^{2}<{x}^{3}$，因此 ${\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx<{\int }_{1}^{2}{x}^{3}dx$，选项A不成立。
步骤 2：比较 ${\int }_{1}^{2}\ln xdx$ 和 ${\int }_{1}^{2}{(\ln x)}^{2}dx$
在区间 $[1,2]$ 上，$\ln x<{(\ln x)}^{2}$，因此 ${\int }_{1}^{2}\ln xdx<{\int }_{1}^{2}{(\ln x)}^{2}dx$，选项B不成立。
步骤 3：比较 ${\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx$ 和 ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx$
在区间 $[0,1]$ 上，${x}^{2}>{x}^{3}$，因此 ${\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx>{\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx$，选项C成立。
步骤 4：比较 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx$ 和 ${\int }_{0}^{1}(1+x)dx$
在区间 $[0,1]$ 上，${e}^{x}>(1+x)$，因此 ${\int }_{0}^{1}{e}^{x}dx>{\int }_{0}^{1}(1+x)dx$，选项D不成立。