求线性方程组 [ x_{1) + x_(3) + 2x_(4) = -1 2x_(1) + x_(2) + 3x_(3) + x_(4) = -4 x_(1) + 2x_(2) + 3x_(3) - 4x_(4) = -5 - x_(1) - x_(2) - 2x_(3) + x_(4) = 3 . ] 的通解. A. -1,0)^T + k_1(-1,1,0)^T + k_2(-2,3,0,1)^T + (-1,-2,0,0)^T, 其中 k_1, k_2 为任意常数B. k_1(-1,-1,1,0)^T + k_2(-2,3,0,1)^T + (-1,2,0,0)^T, 其中 k_1, k_2 为任意常数C. k_1(-1,-1,1,0)^T + k_2(-2,-3,2,1)^T + (-1,2,0,0)^T, 其中 k_1, k_2 为任意常数D. k_1(-1,-1,1,0)^T + k_2(-2,3,2,-1)^T + (-1,-2,0,0)^T, 其中 k_1, k_2 为任意常数

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及增广矩阵的行简化阶梯形、解的结构（特解与齐次解）、基础解系的确定。

解题核心思路：

1. 化简增广矩阵：通过行变换将增广矩阵化为行最简形，确定系数矩阵和增广矩阵的秩。
2. 判断解的情况：若秩相等，则方程组有解；根据秩与未知数个数确定解空间的维数（自由变量个数）。
3. 构造通解：特解（非齐次方程的任意解）加上对应齐次方程组的基础解系线性组合。

破题关键点：

• 确定自由变量：行最简形中非主元列对应的变量为自由变量。
• 基础解系的求解：对自由变量赋值，解出主变量，得到齐次方程组的基础解系。
• 特解的选取：令自由变量取特定值（如0），解出主变量，得到非齐次方程的一个特解。

步骤1：化简增广矩阵

原方程组的增广矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 1 & -3 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
秩 $r(A) = r(\overline{A}) = 2$，说明方程组有解，且解空间维数为 $4 - 2 = 2$（自由变量个数）。

步骤2：确定自由变量与方程形式

• 主变量：$x_1, x_2$（对应前两列主元）。
• 自由变量：$x_3, x_4$。
• 方程组化简为：
  $\begin{cases} x_1 + x_3 + 2x_4 = -1 \\ x_2 + x_3 - 3x_4 = -2 \end{cases}$

步骤3：求特解

令自由变量 $x_3 = 0, x_4 = 0$，解得：
$x_1 = -1, \quad x_2 = -2$
特解为：
$\mathbf{x_p} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

步骤4：求齐次方程组的基础解系

齐次方程组为：
$\begin{cases}x_1 + x_3 + 2x_4 = 0 \\x_2 + x_3 - 3x_4 = 0\end{cases}$

• 赋值法：
  1. 令 $x_3 = 1, x_4 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = -1$，对应解向量：
     $\mathbf{\eta_1} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
  2. 令 $x_3 = 0, x_4 = 1$，解得 $x_1 = -2, x_2 = 3$，对应解向量：
     $\mathbf{\eta_2} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

步骤5：构造通解

通解为特解与齐次解的线性组合：
$\mathbf{x} = k_1 \mathbf{\eta_1} + k_2 \mathbf{\eta_2} + \mathbf{x_p}$