题目

49.判断题(AB)^T=B^TA^T.（）A 对B 错

49.判断题 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$.（） A 对 B 错

题目解答

答案

根据矩阵转置的性质，对于任意矩阵 $A$ 和 $B$，有 $(AB)^T = B^T A^T$。此性质可由矩阵乘法和转置的定义推导，具体如下： 1. 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则 $AB$ 为 $m \times p$ 矩阵。 2. $(AB)^T$ 的 $ij$-元素等于 $AB$ 的 $ji$-元素，即 $\sum_{k=1}^n A_{jk} B_{ki}$。 3. $B^T A^T$ 的 $ij$-元素为 $\sum_{k=1}^n B_{ki} A_{jk}$，与 $(AB)^T$ 的 $ij$-元素相同。 因此，等式 $(AB)^T = B^T A^T$ 成立，答案为 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵转置的运算性质，特别是矩阵乘积转置的规则。

解题核心思路：
矩阵转置运算与乘法运算的顺序关系是关键。转置运算会反转矩阵相乘的顺序，即$(AB)^T = B^T A^T$。需要理解这一性质的推导逻辑，包括维度匹配和元素对应关系。

破题关键点：

  1. 维度分析：验证左右两边矩阵的维度是否一致。
  2. 元素对应：通过矩阵乘法的元素定义，证明两边对应元素相等。

矩阵转置的性质验证

  1. 维度分析

    • 设矩阵$A$为$m \times n$，矩阵$B$为$n \times p$，则$AB$为$m \times p$。
    • $(AB)^T$的维度为$p \times m$。
    • $B^T$为$p \times n$，$A^T$为$n \times m$，因此$B^T A^T$的维度为$p \times m$，与$(AB)^T$维度一致。

  2. 元素对应验证

    • $(AB)^T$的第$i$行第$j$列元素为$AB$的第$j$行第$i$列元素，即：
      $\sum_{k=1}^n A_{jk} B_{ki}.$
    • $B^T A^T$的第$i$行第$j$列元素为：
      $\sum_{k=1}^n B_{ki} A_{jk}.$
    • 由于加法和乘法满足交换律，$\sum_{k=1}^n A_{jk} B_{ki} = \sum_{k=1}^n B_{ki} A_{jk}$，因此两边元素相等。

结论：等式$(AB)^T = B^T A^T$成立。