题目

设x_(1),x_(2)是来自总体x的一个容量为2的样本，则在下列E(x)的无偏估计量中，最有效的估计量是()。 A. (1)/(2)(x_(1)+x_(2))B. (1)/(3)x_(1)+(2)/(3)x_(2)C. (1)/(4)x_(1)+(3)/(4)x_(2)D. (2)/(5)x_(1)+(3)/(5)x_(2)

设$x_{1},x_{2}$是来自总体$x$的一个容量为2的样本，则在下列$E(x)$的无偏估计量中，最有效的估计量是()。

  • A. $\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})$
  • B. $\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}$
  • C. $\frac{1}{4}x_{1}+\frac{3}{4}x_{2}$
  • D. $\frac{2}{5}x_{1}+\frac{3}{5}x_{2}$

题目解答

答案

为了确定给定的$E(X)$的无偏估计量中哪一个是最有效的，我们需要计算每个估计量的方差，并比较它们。无偏估计量最有效，如果它具有最小的方差。 设$X_1$和$X_2$是来自总体$X$的样本，总体均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$。因此，$E(X_1) = E(X_2) = \mu$且$\text{Var}(X_1) = \text{Var}(X_2) = \sigma^2$。 我们考虑的估计量是： A. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2)$ B. $\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2$ C. $\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2$ D. $\frac{2}{5}X_1 + \frac{3}{5}X_2$ 首先，我们检查每个估计量是否无偏： - 对于估计量A：$E\left(\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2)) = \frac{1}{2}(\mu + \mu) = \mu$ - 对于估计量B：$E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{2}{3}E(X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{2}{3}\mu = \mu$ - 对于估计量C：$E\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \frac{1}{4}E(X_1) + \frac{3}{4}E(X_2) = \frac{1}{4}\mu + \frac{3}{4}\mu = \mu$ - 对于估计量D：$E\left(\frac{2}{5}X_1 + \frac{3}{5}X_2\right) = \frac{2}{5}E(X_1) + \frac{3}{5}E(X_2) = \frac{2}{5}\mu + \frac{3}{5}\mu = \mu$ 由于所有估计量都是无偏的，我们接下来计算它们的方差： - 对于估计量A：$\text{Var}\left(\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \text{Var}(X_1 + X_2) = \frac{1}{4}(\text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)) = \frac{1}{4}(\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{2}\sigma^2$ - 对于估计量B：$\text{Var}\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \text{Var}(X_1) + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \text{Var}(X_2) = \frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{4}{9}\sigma^2 = \frac{5}{9}\sigma^2$ - 对于估计量C：$\text{Var}\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \text{Var}(X_1) + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \text{Var}(X_2) = \frac{1}{16}\sigma^2 + \frac{9}{16}\sigma^2 = \frac{5}{8}\sigma^2$ - 对于估计量D：$\text{Var}\left(\frac{2}{5}X_1 + \frac{3}{5}X_2\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \text{Var}(X_1) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 \text{Var}(X_2) = \frac{4}{25}\sigma^2 + \frac{9}{25}\sigma^2 = \frac{13}{25}\sigma^2$ 现在，我们比较方差： - 估计量A的方差：$\frac{1}{2}\sigma^2 = \frac{12.5}{25}\sigma^2$ - 估计量B的方差：$\frac{5}{9}\sigma^2 \approx \frac{13.89}{25}\sigma^2$ - 估计量C的方差：$\frac{5}{8}\sigma^2 = \frac{15.625}{25}\sigma^2$ - 估计量D的方差：$\frac{13}{25}\sigma^2$ 最小的方差是$\frac{1}{2}\sigma^2$，这对应于估计量A。因此，最有效的估计量是： $\boxed{A}$

解析

本题考查无偏估计量的有效性判断，解题思路是先判断各选项是否为无偏估计量，再计算各无偏估计量的方差，方差最小的即为最有效的估计量。
设总体$X$的均值为$\mu = E(X)$，方差为$\sigma^2 = Var(X)$，$x_1,x_2$是来自总体$X$的一个容量为$2$的样本，则$E(x_1)=E(x_2)=$=)=\mu)，$Var(x_1)=Var(x_2)=\sigma^2$。

  1. 判断各选项是否为无偏估计量：
    • 选项A：
      $E\left[\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})\right]=\frac{1}{2}E(x_{1})+\frac{1}{2}E(x_{2})=\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\mu=\mu$，所以$\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})$是$E(X)$的无偏估计量。
    • 选项B：
      $E\left(\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}\right)=\frac{1}{3}E(x_{1})+\frac{2}{3}E(x_{2})=\frac{1}{3}\mu+\frac{2}{3}\mu=\mu$，所以$\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}$是$E(X)$的无偏估计量。
    • 选项C：
      $E\left(\frac{1}{4}x_{1}+\frac{3}{4}x_{2}\right)=\frac{1}{4}E(x_{1})+\frac{3}{4}E(x_{2})=\frac{1}{4}\mu+\frac{3}{4}\mu=\mu$，所以$\frac{1}{4}x_{1}+\frac{3}{4}x_{2}$是$E(X)$的无偏估计量。
    • 选项D：
      $E\left(\frac{2}{5}x_{1}+\frac{3}{5}x_{2}\right)=\frac{2}{5}E(x_{1})+\frac{3}{5}E(x_{2})=\frac{2}{5}\mu+\frac{3}{5}\mu=\mu$，所以$\frac{2}{5}x_{1}+\frac{3}{5}x_{2}$是$E(X)$的无偏估计量。
  2. 计算各无偏估计量的方差：
    • 选项A：
      $Var\left[\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})\right]=\left(\frac{1}{2}\right)^2Var(x_{1}+x_{2})=\frac{1}{4}(Var(x_{1}) + Var(x_{2}))=\frac{1}{4}(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{1}{2}\sigma^2$。
    • 选项B：
      $Var\left(\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2Var(x_{1})+\left(\frac{2}{3}\right)^2Var(x_{2})=\frac{1}{9}\sigma^2+\frac{4}{9}\sigma^2=\frac{5}{9}\sigma^2$。
    • 选项C：
      $Var\left(\frac{1}{4}x_{1}+\frac{3}{4}x_{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^2Var(x_{1})+\left(\frac{3}{4}\right)^2Var(x_{2})=\frac{1}{16}\sigma^2+\frac{9}{16}\sigma^2=\frac{5}{8}\sigma^2$。
    • 选项D：
      $Var\left(\frac{2}{5}x_{1}+\frac{3}{5}x_{2}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^2Var(x_{1})+\left(\frac{3}{5}\right)^2Var(x_{2})=\frac{4}{25}\sigma^2+\frac{9}{25}\sigma^2=\frac{13}{25}\sigma^2$。
  3. 比较方差大小：
    为了方便比较，将各方差通分：
    $\frac{1}{2}\sigma^2=\frac{12.5}{25}\sigma^2$，$\frac{5}{9}\sigma^2\approx\frac{13.89}{25}\sigma^2$，$\frac{5}{8}\sigma^2=\frac{15.625}{25}\sigma^2$，$\frac{13}{25}\sigma^2$。
    因为$\frac{12.5}{25}\sigma^2<\frac{13}{25}\sigma^2<\frac{13.89}{25}\sigma^2<\frac{15.625}{25}\sigma^2$，即$\frac{1}{2}\sigma^2<\frac{13}{25}\sigma^2<\frac{5}{9}\sigma^2<\frac{5}{8}\sigma^2$，所以选项A的方差最小。